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Versuchsprotokoll 

zum Versuch Nummer 2: 

Das Massenträgheitsmoment 

Abgabe Termin: 15.05 2006 

Von: Matrikelnummer: 

Alexander Kohne 24820 

Thore Christiansen 24544 

Selina Seefried 24794

Das Massenträgheitsmoment Seite: 2 

Theorie zum Massenträgheitsmoment __________________________________________ 4 

Versuch Nr.1: Bestimmung einer Federkonstanten statisch und dynamisch:___________ 5 

Versuchsaufbau zur Ermittlung der Federkonstante bei einer Schraubenfeder, statisch:____5 

Geräteliste:__________________________________________________________________________ 5 

Versuchaufbau: ______________________________________________________________________ 5 

Versuchsablauf: ________________________________________________________________5 

Versuchsaufbau zur Ermittlung der Federkonstante bei einer Schraubenfeder, dynamisch: 6 

Geräteliste:__________________________________________________________________________ 6 

Versuchaufbau: ______________________________________________________________________ 6 

Versuchsablauf: ________________________________________________________________7 

Auswertung des Versuchs: _______________________________________________________8 

Berechnung der Federkonstanten, statisch (Große Feder): _____________________________________ 8 

Berechnung der Federkonstanten, statisch (Kleine Feder): _____________________________________ 9 

Berechnung der Federkonstanten, Dynamisch: _____________________________________10 

Allgemein:_________________________________________________________________________ 10 

Berechnung der Federkonstanten, dynamisch (Große Feder): _________________________________ 10 

Berechnung der Federkonstanten, dynamisch (Kleine Feder): _________________________________ 10 

Fehlerrechnung kleinen Feder:___________________________________________________11 

Fehlerrechnung große Feder: ____________________________________________________13 

Versuch Nr.2: Bestimmung der Massenträgheitsmomentes mir eine Spiralfeder, 

experimentell und theoretisch________________________________________________ 15 

Versuchsaufbau zur Ermittlung der Federkonstante bei einer Spiralfeder, statisch: ______15 

Geräteliste:_________________________________________________________________________ 15 

Versuchsaufbau: ____________________________________________________________________ 15 

Versuchsablauf: _______________________________________________________________16 

Versuchsaufbau zur Ermittlung der Federkonstante bei einer Spiralfeder, dynamisch: ___17 

Geräteliste:_________________________________________________________________________ 17 



Berechnung der Federkonstante einer Spiralfeder, statisch ___________________________18 

Theoretische Bestimmung des Massenträgheitsmoments: _____________________________19 

Vollzylinder: _______________________________________________________________________ 19 

Kugel: ____________________________________________________________________________ 20 

Fehlerrechnung zur Bestimmung des Massenträgheitsmoments einer Spiralfeder: ________20 

Vollzylinder: _______________________________________________________________________ 20 

Kugel: ____________________________________________________________________________ 22 

Thore Christiansen, Alexander Kohne, Selina Seefried


Versuch Nr. 3: Bestimmung der Massenträgheitsmoments eines Dünnwandigen 

Hohlzylinders, experimentell und theoretisch ___________________________________ 24 

Versuchsaufbau zur Berechnung des Massenträgheitsmomentes eines Hohlzylinders: _____24 

Geräteliste:_________________________________________________________________________ 24 



Massenträgheitsmoment eines dünnwandigen Hohlzylinders (Physikalisches Pendel)______25 

Fehlerrechnung: _______________________________________________________________26 

Ergebnisse: ______________________________________________________________ 28 

Ergebnisbetrachtung: ______________________________________________________ 29 

Quellen: _________________________________________________________________ 29 

Anhang: _________________________________________________________________ 30 

Federkonstante Schraubenfeder (Dynamisch)______________________________________________ 30 

Federkonstante Schraubenfeder (Statisch) ________________________________________________ 31 

Federkonstante Spiralfeder (Statisch) ____________________________________________________ 33 

Massenträgheitsmoment schwingender Körper (Spiralfeder) __________________________________ 34 

Massenschwerpunkt (Dünnwandiger Hohlzylinder) _________________________________________ 35 



Theorie zum Massenträgheitsmoment 

Ein Körper mit einer bestimmten Masse bleibt in Ruhe, wenn die Kräfte die auf Ihn 

wirken alle Null sind. Die Eigenschaft die Körper aufgrund Ihrer Masse aufweisen, 

bezeichnet man auch als Trägheit. Diese Eigenschaft wird auch als Trägheitsgesetz 

bezeichnet. 

Dieses Trägheitsgesetz gilt in allen unbeschleunigten Bezugssystemen. Diese 

Systemen nennt man auch Inertialsysteme. Das Trägheitsgesetz lässt sich aus den 

newtonschen Grundgesetzen ableiten. 

→ 

Aus F 

→ → 

m⋅ a folgt mit F 

→ 

0 : a 

0 oder v→ 

=konstant 

Aus zurückliegenden historischen Gründen wird jedoch meist als eigenständiges 

Gesetz betrachtet 

Dem ersten und zweitem Newtonschen Gesetz zu folge, sind alle Kräfte die Ursache 

von Änderungen des Bewegungszustandes eines Körpers. Des Weiteren können 

Körper auch durch die so genannte statische Kraftwirkung verändert werden. Diese 

wirkt sich z.B. durch Druck bzw. Zug aus und kann die Form des bzw. eines Körpers 

verändern. Robert Hook , ein englischer Physiker, fand heraus, dass die Dehnung 

einer Zugfeder von der an Ihr angreifenden Kraft proportional ist. Die Berechnung der 

Federkonstante funktioniert wie folgt: Die Federkonstante F ist gleich dem Produkt 

aus der Federkonstante D und der Federdrehung s 

Federkonstante D: 

Beim Hookschen Gesetz kann man beobachten, dass bei einem kleinem Delta x die 

Federkraft nahezu proportional zu Delta x ist und in die entgegengesetzte Richtung 

wirkt. 

Die Konstante k bzw. die Kraftkonstante der Feder wird auch als Federkonstante 

bezeichnet. Der Abstand x beschreibt die Koordinate des freien Endes der Feder. 

Der Wert dieser Koordinate wird als x0 bezeichnet, wenn sich die Feder mit dem ihr 

angehängten Gewicht bewegungsfrei ausgependelt hat. Sie befindet sich dann im 

Gleichgewicht. Die Kraft, die die Feder wieder in ihren ursprünglichen Zustand 

zurückführt nennt man auch Rückstellkraft. 



Versuch Nr.1: Bestimmung einer Federkonstanten statisch 

und dynamisch: 

Versuchsaufbau zur Ermittlung der Federkonstante bei einer Schraubenfeder, 

statisch: 

Geräteliste: 

- Stativ, mit Stativzubehör 

- Messlatte 

- Große Schraubenfeder: Länge 293mm, Gewicht 56,68g 

- Kleine Schraubenfeder: Länge 254mm, Gewicht 35,89g 

- Verschiedene Gewichte: 1x 100g, 2x 200g, 1x 500g, 1x 1000g 

Versuchaufbau: 

Zunächst wird das Stativ aufgestellt. Daran wird dann, mit Hilfe einer 

Winkelmuffe, senkrecht ein Stativstab (Galgenähnlich), im oberen Bereich 

des Stativs, angebracht. An den Stativstab wird nun eine der 

Schraubenfeder daran gehangen, an die später die verschiedenen Gewichte 

befestigt werden. 

(siehe Bild) 

Unabhängig dazu wird, bei der statischen Ermittlung der Federkonstante, 

eine Messlatte (100cm Länge) benötigt um die Ausdehnung zu messen. 

Versuchsablauf: 

Ziel: In diesem Versuch soll die Längenveränderung ∆l der Feder, unter 

verschiedenen Belastungen ermittelt werden. 

Zunächst wird der abstand von der Tischplatte bis zum unteren Ende der Feder 

gemessen. Die Feder ist bei dieser Messung nicht belastet bzw. es hängt kein 

Gewicht an der Feder. Nun werden in 100g schritten Gewichte an die Feder ran 

gehangen und die daraus resultierend Längenveränderung zu der Tischplatte ∆l 

notiert. Das Spezifische Gewicht der Gewichte wurde vorher mittels einer 

Laborwaage ermittelt. Diese Messreihe wird bis zu einem Gewicht von 1kg 

durchgeführt. Der eben beschriebene Versuchsablauf wird mit insgesamt zwei 

verschiedenen Federn durchgeführt. Einer großen und einer kleinen Feder. Die 

Messungen sollten möglichst von zwei verschieden Personen, unabhängig von 

einander, durchgeführt werden um Messfehler zu vermeiden. 



Versuchsaufbau zur Ermittlung der Federkonstante bei einer Schraubenfeder, 

dynamisch: 

Geräteliste: 

- Große Schraubenfeder: Länge 293mm, Gewicht 56,68g 

- Kleine Schraubenfeder: Länge 254mm, Gewicht 35,89g 

- Stativ mit. Stativzubehör 

- Stoppuhren 

- Gewicht 1000g 

Versuchaufbau: 

Der Versuchsaufbau sieht eigentlich genau so aus wie bei der statischen Variante. 

Die Federn werden genau wie beim ersten Versuch am Stativgalgen angehängt. An 

das untere Ende der Feder wird ein Gewicht von 1000g befestigt. Bei der 

Dynamischen Ermittlung der Federkonstante kann von der Messlatte abgesehen 

werden, da hierbei nicht die Ausdehnung gemessen wird. Viel mehr handelt es sich 

bei dieser durchzuführenden Ermittlung um die Schwingungsdauer. Aus diesem 

Grund wird, zur Zeiterfassung der Periode, eine Stoppuhr benötigt. 




Ziel: In diesem Versuch soll die Periodendauer T einer einzigen Periode (eine 

vollständige auf und ab Bewegung der Feder) ermittelt werden. 

Bei der dynamischen Ermittlung der Federkonstante werden nun Stoppuhren 

benötigt. Hierbei wird ein Festgelegtes Gewicht von 1kg an die Feder angebracht. 

Die Feder wird nun von einer Person heruntergezogen bzw. bis zu einen bestimmten 

Punkt ausgelenkt und dann losgelassen. Da das Messen einer einzigen Periode zu 

ungenau wäre, ist es besser 20 Perioden hintereinander zu messen. Um dann die 

Zeit einer einzigen Periode fest zu stellen, muss nun noch der resultierende 

Messwert durch 20 geteilt werden. Da jeder Mensch andere Reaktionszeiten hat und 

jeder ein anderes Empfinden dafür hat, dass eine Periode zu ende ist, sollte die 

Messung möglichst parallel von mehrer Personen ausgeführt werden. 

Tipp: Am einfachsten ist es, wenn in der Gruppe vorher im Takt der Schwingungen, 

der Feder, angezählt wird und dann die Messung gemeinsam gestartet wird. Des 

Weiteren ist darauf zu achten, dass die Feder nicht über ihre Elastizitätsgrenze 

hinaus ausgelenkt wird, da die Feder sonnst kaputt gehen würde. 



Auswertung des Versuchs: 

Berechnung der Federkonstanten, statisch (Große Feder): 

Nulllänge: 517,0 mm 

F : Kraft [N] 

12000,0 

10000,0 

8000,0 

6000,0 

4000,0 

2000,0 

0,0 

Gewicht [g] Kraft [F] Länge [mm] Auslenkung [mm] 

100 980,7 558,3 41,3 

200 1961,4 599,6 82,6 

300 2942,1 640,8 123,8 

400 3922,8 681,5 164,5 

500 4903,5 722,4 205,4 

600 5884,2 762,8 245,8 

700 6864,9 804,5 287,5 

800 7845,6 843,7 326,7 

900 8826,3 883,8 366,8 

1000 9807,0 925,8 408,8 

Federkonstante Statisch 

F = 24,075x - 30,111 

-2000,0 

0,0 100,0 200,0 300,0 400,0 500,0 

F D⋅x F 24.075⋅x − 30.111 

D 24.075 

x : Auslenkung [mm] 

D = Steigung der Rezessionsgeraden. 



Berechnung der Federkonstanten, statisch (Kleine Feder): 

Nulllänge: 469,1 mm 

F : Kraft [N] 

12000,0 

10000,0 

8000,0 

6000,0 

4000,0 

2000,0 

0,0 

Gewicht [g] Kraft [F] Länge [mm] Auslenkung [mm] 

100 980,7 479,2 10,1 

200 1961,4 489,0 20,0 

300 2942,1 498,5 29,5 

400 3922,8 508,2 39,2 

500 4903,5 518,1 49,0 

600 5884,2 527,8 58,7 

700 6864,9 537,7 68,6 

800 7845,6 547,2 78,2 

900 8826,3 557,1 88,0 

1000 9807,0 567,3 98,2 

Federkonstante Statisch 

F = 100,45x - 23,946 

-2000,0 

0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0 

F D⋅x F 100.54x − 23.946 

D 100.54 

x : Auslenkung [mm] 

D = Steigung der Rezessionsgeraden. 



Berechnung der Federkonstanten, Dynamisch: 

Allgemein: 

Formel zur experimentellen Bestimmung von D: 

T 2π m 

π 

⋅ auflösen , D 4⋅m D 

2 

T 2 

→ ⋅ 

Berechnung der Federkonstanten, dynamisch (Große Feder): 

Definition von Masse und Schwingungsdauer: 

m := 1kg 

T := 1.28s 

Definition der Federkonstanten D: 

π 

D 4⋅m 2 

T 2 

:= ⋅ 

Berechnen der Federkonstante D: 

D 24.096 kg 

s 2 

= 

Berechnung der Federkonstanten, dynamisch (Kleine Feder): 

Definition von Masse und Schwingungsdauer: 

m := 1kg 

T := 0.63s 

Definition der Federkonstanten D: 

π 

D 4⋅m 2 

T 2 

:= ⋅ 

Berechnen der Federkonstante D: 

D 99.467 kg 

s 2 

= 



Fehlerrechnung kleinen Feder: 

1. Definition der zu untersuchenden Funktion: 

D( m, T) 

:= 4⋅m⋅ ⎛ 

⎜ 

⎝ 

π 2 

T 

20 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2. Berechnung der Partiellen Ableitungen: 

D m T 

m , 

d 

( ) 

d 

D m T 

T , 

d 

( ) 

d 

2 

1600 π2 

T 2 

→ ⋅ 

π 

−3200⋅m 2 

T 3 

→ ⋅ 

3. Definition der Messgrößen im Fehlerbereich: 

m := 1kg 

Δm := 2gm 

T := 12.66s ΔT := 0.2s 

4. Berechnung der einzelnen partiellen Ableitungen an den festgelegten Stellen: 

D m T 

m , 

d 

( ) 

d 

D m T 

T , 

d 

( ) 

d 

9.9828046190436972316 π2 

s 2 

→ 

⋅ 

π 

−1.5770623410811528012⋅kg 2 

s 3 

→ 

⋅ 



5. Berechnung von D(m,T) einzelne Fehleranteile und ΔD 

D( m, T) 

98.526 kg 

s 2 

= 

ΔD := 

D m T 

m , 

d 

( ) 

d 

ΔD 3.31 kg 

s 2 

= 

D m T 

m , 

d 

( ) 

d 

D m T 

T , 

d 

( ) 

d 

⋅Δm 

+ 

⋅Δm 0.197 kg 

s 2 

= 

⋅ΔT 3.113 kg 

s 2 

= 

D m T 

T , 

d 

( ) 

d 

6. Berechnung des mittleren Fehlers 

⋅ΔT 

2 

⎡ ⎛d 

⎞⎤ 

ΔD1 ⎢Δm⋅⎜ 

D( m, T) 

⎟⎥ 

ΔT D m T 

⎣ ⎝dm 

⎠⎦ 

T , 

2 

⎡ ⎛d 

⎞⎤ 

:= 

+ ⎢ ⋅⎜ 

( ) ⎟⎥ 

⎣ ⎝d 

⎠⎦ 

ΔD1 3.119 kg 

s 2 

= 

7. Berechnung des relativen Fehlers und des relativen Fehlers in Prozent 

ΔD1 

= 0.032 

D( m, T) 

ΔD1 

= 

3.166 % 

D( m, T) 



Fehlerrechnung große Feder: 


D( m, T) 

:= 4⋅m⋅ ⎛ 

⎜ 

⎝ 

π 2 

T 

20 

⎞ 

⎟ 

⎠ 


D m T 

m , 

d 

( ) 

d 

D m T 

T , 

d 

( ) 

d 

2 

1600 π2 

T 2 

→ ⋅ 

π 

−3200⋅m 2 

T 3 

→ ⋅ 


m := 1 kg Δm := 2gm 

T := 25.53s ΔT := 0.2s 


D m T 

m , 

d 

( ) 

d 

D m T 

T , 

d 

( ) 

d 

2.4548126525340033744 π2 

s 2 

→ 

⋅ 

π 

−.19230808088789685660⋅kg 2 

s 3 

→ 

⋅ 



5. Berechnung von D(m,T) einzelne Fehleranteile und ΔD 

D( m, T) 

24.228 kg 

s 2 

= 

ΔD := 

D m T 

m , 

d 

( ) 

d 

ΔD 0.428 kg 

s 2 

= 

D m T 

m , 

d 

( ) 

d 

D m T 

T , 

d 

( ) 

d 

⋅Δm 

+ 

⋅Δm 0.048 kg 

s 2 

= 

⋅ΔT 0.38 kg 

s 2 

= 

D m T 

T , 

d 

( ) 

d 


⋅ΔT 

2 

⎡ ⎛d 

⎞⎤ 

ΔD1 ⎢Δm⋅⎜ 

D( m, T) 

⎟⎥ 

ΔT D m T 

⎣ ⎝dm 

⎠⎦ 

T , 

2 

⎡ ⎛d 

⎞⎤ 

:= 

+ ⎢ ⋅⎜ 

( ) ⎟⎥ 

⎣ ⎝d 

⎠⎦ 

ΔD1 0.383 kg 

s 2 

= 


ΔD1 

= 0.016 

D( m, T) 

ΔD1 

= 

1.579 % 

D( m, T) 



Versuch Nr.2: Bestimmung der Massenträgheitsmomentes 

mir eine Spiralfeder, experimentell und theoretisch 

Versuchsaufbau zur Ermittlung der Federkonstante bei einer Spiralfeder, 

statisch: 

Geräteliste: 

- Dreieckiges Bodenstativ ( justierbar) 

- Spiralfeder mit Stifteinspannvorrichtung 

- Exponat: Hebelarm mit der Länge 185 mm 

- Newtonmeter 

- Stativ mit Stativzubehör 

Versuchsaufbau: 

Auf dem Labortisch wird ein dreieckiges Bodenstativ aufgestellt und mit einer 

Wasserwaage so gut wie möglich ausgerichtet. Auf dem Stativ ist eine Spiralfeder 

befestigt. An dieser Spiralfeder ist eine Halterung angebracht in der Exponate über 

einen Stift befestigt werden können. Zur Statischen Ermittlung der Federkonstanten 

wird hier ein Hebelarm drauf gesteckt. (siehe Foto) 




Ziel: Bei diesem Versuch soll die Kraft F gemessen werden die die Spiralfeder 

ausübt wenn sie um π, 2π und 3π ausgelenkt wird. 

Um die Kraft zu ermitteln, wird auf die Spiralfederkonstruktion, ein vorher 

gemessener Hebelarm angebracht. Nun wird das Stativ mit der waagerecht 

angebrachten Stativstange so über die Konstruktion gestellt, dass hebelarm und 

Stativstange, wenn man von oben drauf schaut, parallel übereinander liegen. Die 

Stativstange ist in diesem Versuch nicht wirklich notewendig, sie dient hier nur 

ausschließlich als Orientierungshilfe. Als nächstes wird in das ende das Hebelarms 

ein Newtonmeter befestigt. Mit samt des Newtonmeters wird nun der Hebelarm um π 

ausgelenkt. Die Kraft die jetzt auf dem Newtonmeter angezeigt wird, sollte nun 

abgelesen und notiert werden. Anschließend wird der Hebelarm vorsichtig 

zurückgeführt und das Newtonmeter entfernt. Jetzt sollte man die Feder 

ausschwingen lassen und später, mit Hilfe des Stativstabes, noch mal überprüfen ob 

die Feder sich auf unsere gedachte „Nulllinie“ zurück gestellt hat. 

Diesen Versuch sollte man mehrmals durchführen (mind. 3mal) um ein eindeutiges 

Messergebnis zu bekommen. Danach wird das ganze wiederholt mit einer 

Auslenkung um 2π und mit einer Auslenkung um 3π. 



Versuchsaufbau zur Ermittlung der Federkonstante bei einer Spiralfeder, 

dynamisch: 

Geräteliste: 

- Dreieckiges Bodenstativ ( justierbar) 

- Spiralfeder mit Stifteinspannvorrichtung 

- Exponat: Kugel, mit einer homogener Dichteverteilung, Durchmesser: 

138mm, Gewicht: 772,67g 

- Exponat: Vollzylinder mit einer homogenen Dichteverteilung, Durchmesser: 

215mm, Gewicht: 285,33g 

- Exponat: Pleuel, Gewicht: 186,36g 

- Stoppuhren 


Der Versuch wird genau so aufgebaut, wie der Versuch zur statischen Bestimmung 

der Federkonstanten bei der Spiralfeder, bis auf das an Stelle des Hebelarms nun 

andere Exponate (Kugel, Vollzylinder und Pleuel) angebracht werden. Das Stativ 

wird in diesem Versuch auch nicht mehr benötigt. 


Ziel: In diesem Versuch soll wieder die Periodendauer einer einzigen Periode T 

ermittelt werden. 

Zunächst muss in diesem Versuch die Masse der Kugel, des Vollzylinders und von 

dem Pleuel, bestimmt werden. Danach wird eines der drei Gegenstände auf die 

Spiralfederkonstruktion angebracht. Nun läuft der Versuch ähnlich wie der versuch 

zur dynamischen Ermittlung der Federkonstanten, bei einer Schraubenfeder. Die 

Feder wird wieder ausgelenkt und somit zum schwingen gebracht. Nun stoppt man, 

mit einer Stoppuhr, wieder 20 volle Perioden und Dividiert anschließend die Zeit t 

durch 20 (siehe: Versuchsablauf zur dynamischen Ermittlung der Federkonstanten 

bei einer Schraubenfeder). Mit den nun vorliegenden Messergebnissen, kann man 

jetzt das Massenträgheitsmoment Theoretisch so wohl als auch, für die Kugel und 

den Vollzylinder, Experimentell bestimmt werden. 

Tipp: Man sollte auch bei diesem Versuch darauf achten das man die Spiralfeder 

nicht zu weit auslenkt, da sich an sonnsten ab einem bestimmten Punkt plastisch 

verformen könnte. 



Berechnung der Federkonstante einer Spiralfeder, statisch 

Kraft [N] 

2,00 

1,50 

1,00 

0,50 

0,00 

-0,50 

Messungen [N] 

α 1 2 3 4 5 Mittel 

180 0,34 0,34 0,34 0,34 0,34 0,34 

360 0,70 0,67 0,72 0,70 0,72 0,70 

540 1,90 1,60 1,50 1,70 1,40 1,62 

Kraft bei x Pi Rotationen 

N = 0,0036α - 0,3927 

R 2 = 0,9408 

0 100 200 300 400 500 600 

Thore Christiansen, Alexander Kohne, Selina Seefried 

Auslenkwinkel [°]


F D⋅α D= Steigung der Rezessionsgeraden 

F 0.0036α − 0.3927 

D 0.0036 

Theoretische Bestimmung des Massenträgheitsmoments: 

Vollzylinder: 

Definition von Masse und Radius: 

Masse: m := 285.33gm 

Durchmesser: D := 215mm 

Radius: R := 107.5mm 

Formel zur Theoretischen Berechnung einer Scheibe: 

J := 

1 

m⋅R2 2 

Berechnung: 

J 1.649 10 3 − 

× kgm 2 

= 



Kugel: 

Definition von Masse und Radius: 

Masse: m := 772.67gm 

Durchmesser: D := 138mm 

Radius: R := 69mm 

Formel zur Theoretischen Berechnung einer Kugel: 

J := 

2 

m⋅R2 5 

Berechnung: 

J 1.471 10 3 − 

× kgm 2 

= 

Fehlerrechnung zur Bestimmung des Massenträgheitsmoments einer 

Spiralfeder: 

Vollzylinder: 


J( m, D) 

:= 

1 D 

m⋅ ⎛ 

⎜ 

2 ⎝ 2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 


J m D 

m , 

d 

( ) 

d 

J m D 

D , 

d 

( ) 

d 

→ 

1 

8 D2 ⋅ 

1 

4 m ⋅ D ⋅ → 




m := 285.33gm Δm := 0.05gm 

D := 215mm ΔD := 3mm 


J m D 

m , 

d 

( ) → 

d 

J m D 

D , 

d 

( ) → 

d 

46225 

8 mm2 ⋅ 

15336.487500000000000⋅gm⋅mm 5. Berechnung von J( m, D), 

einzelne Fehleranteile und ΔJ 

J( m, D) 

1.649 10 3 − 

× kgm 2 

= 

ΔJ := 

J m D 

m , 

d 

( ) 

d 

⋅Δm 

ΔJ 4.63 10 5 − 

× kgm 2 

= 

J m D 

m , 

d 

( ) 

d 

J m D 

D , 

d 

( ) 

d 

+ 

J m D 

D , 

d 

( ) 

d 

⋅Δm 2.889 10 7 − 

× kgm 2 

= 

⋅ΔD 4.601 10 5 − 

× kgm 2 

= 


⋅ΔD 

2 

2 

⎡ ⎛d 

⎞⎤ 

⎡ ⎛d 

⎞⎤ 

ΔJ1 := ⎢Δm⋅⎜ 

J( m, D) 

⎟⎥ 

+ ⎢ΔD⋅⎜ 

J( m, D) 

⎟⎥ 

⎣ ⎝dm 

⎠⎦ 

⎣ ⎝dD 

⎠⎦ 

ΔJ1 4.601 10 5 − 

× kgm 2 

= 


ΔJ1 

= 0.028 

J( m, D) 

ΔJ1 

= 

2.791 % 

J( m, D) 



Kugel: 


J( m, D) 

:= 

1 D 

m⋅ ⎛ 

⎜ 

2 ⎝ 2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 


J m D 

m , 

d 

( ) 

d 

J m D 

D , 

d 

( ) 

d 

→ 

1 

8 D2 ⋅ 

1 

4 m ⋅ D ⋅ → 


m := 772.67gm Δm := 0.05gm 

D := 215mm ΔD := 3mm 


J m D 

m , 

d 

( ) → 

d 

J m D 

D , 

d 

( ) → 

d 

46225 

8 mm2 ⋅ 

41531.012500000000000⋅gm⋅mm 5. Berechnung von J( m, D), 

einzelne Fehleranteile und ΔJ 

J( m, D) 

4.465 10 3 − 

× kgm 2 

= 

ΔJ := 

J m D 

m , 

d 

( ) 

d 

⋅Δm 

ΔJ 1.249 10 4 − 

× kgm 2 

= 

J m D 

m , 

d 

( ) 

d 

J m D 

D , 

d 

( ) 

d 

+ 

J m D 

D , 

d 

( ) 

d 

⋅Δm 2.889 10 7 − 

× kgm 2 

= 

⋅ΔD 1.246 10 4 − 

× kgm 2 

= 

⋅ΔD 




2 

2 

⎡ ⎛d 

⎞⎤ 

⎡ ⎛d 

⎞⎤ 

ΔJ1 := ⎢Δm⋅⎜ 

J( m, D) 

⎟⎥ 

+ ⎢ΔD⋅⎜ 

J( m, D) 

⎟⎥ 

⎣ ⎝dm 

⎠⎦ 

⎣ ⎝dD 

⎠⎦ 

ΔJ1 1.246 10 4 − 

× kgm 2 

= 


ΔJ1 

= 0.028 

J( m, D) 

ΔJ1 

= 

2.791 % 

J( m, D) 



Versuch Nr. 3: Bestimmung der Massenträgheitsmoments 

eines Dünnwandigen Hohlzylinders, experimentell und 

theoretisch 

Versuchsaufbau zur Berechnung des Massenträgheitsmomentes eines 

Hohlzylinders: 

Geräteliste: 

- Hohlzylinder 

- Stativ, Stativmaterial 

- Küchenmesser 

- Stoppuhren 

- Waage (zu Massenbestimmung) 


Auf dem Arbeitstisch wird ein Stativ mit einer Waagerecht eingespanntem 

Küchenmesser aufgebaut. Auf dieses Küchenmesser wird nun der Hohlzylinder drauf 

gehängt. Ein Küchenmesser eignet sich für diesen Versuch besonders gut als Lager 

für den Holzylinder, da die Schneide des Messers eine sehr geringe Auflagefläche 

hat, was zufolge hat, dass der Hohlzylinder fast reibungsfrei aufliegt. 




Ziel: In diesem versuch soll wieder die Zeit einer vollständigen Periode T ermittelt 

werden. 

Wenn der Versuch ordnungsgemäß aufgebaut ist, verläuft der Versuch eigentlich 

vom Prinzip her genau so wie die vorherigen Versuche zur Berechnung der der 

Dynamischen Federkonstanten. Der Hohlzylinder wird ausgelenkt, und es wird 

wieder möglichst von mehreren Personen gleichzeitig 20 vollständigen 

Schwingungen gestoppt. Die daraus resultierende Zeit t wird dann wieder durch 20 

geteilt. 

Massenträgheitsmoment eines dünnwandigen Hohlzylinders (Physikalisches 

Pendel) 

Gegeben: 

Masse: M := 0.38751kg 

Durchmesser (innen): di := 86.3mm 

ri 

Durchmesser (außen): da := 90.1mm 

ra 

Periodendauer: T := 0.60s 

Es gilt der Satz von Steiner: 

JS JA M ri 2 

:= − ⋅ 

JA := 

Berechnen von JA und JS: 

JA 1.495 10 3 − 

× kgm 2 

= 

T 2 

4 π 2 

⋅ 

⋅M⋅g⋅ri JS 7.738 10 4 − 

× kgm 2 

= 


:= 

:= 

di 

2 

da 

2


Fehlerrechnung: 


JA( T , M, 

ri) 

:= 

T 2 

4 π 2 

⋅ 

⋅M⋅g⋅ri 2. Berechnung der Partiellen Ableitungen: 

JA T , M ri 

T , 

d 

( ) 

d 

JA T , M ri 

M , 

d 

( ) 

d 

JA T , M ri 

ri , 

d 

( ) 

d 

5.0163169500000000000 s 

π 2 

→ 

⋅ ⋅kg⋅g⋅ mm 

→ 

3.8835000000000000000 s2 

π 2 

→ 

⋅ ⋅g⋅mm 3.4875900000000000000 10 -2 

⋅ 


T := 0.60s ΔT := 0.2s 

M := 0.38751kg ΔM 5 10 5 − := ⋅ kg 

ri := 0.043m Δri := 0.001m 

s 2 

π 2 

⋅ ⋅kg⋅g 4. Berechnung der einzelnen partiellen Ableitungen an den festgelegten Stellen: 

JA T , M ri 

T , 

d 

( ) 

d 

JA T , M ri 

M , 

d 

( ) 

d 

JA T , M ri 

ri , 

d 

( ) 

d 

→ 

→ 

→ 

4.9988790000000000000 10 -3 

⋅ 

3.8700000000000000000 10 -3 

⋅ 

3.4875900000000000000 10 -2 

⋅ 

s 

π 2 

⋅ ⋅kg⋅g⋅ m 

s 2 

π 2 

⋅ ⋅g⋅m s 2 

π 2 

⋅ ⋅kg⋅g Thore Christiansen, Alexander Kohne, Selina Seefried


5. Berechnung von JA(T,M,ri), einzelne Fehleranteile und ΔJA 

JA( T , M, 

ri) 

1.49 10 3 − 

× kgm 2 

= 

ΔJA := 

JA T , M ri 

T , 

d 

( ) 

d 

ΔJA 1.028 10 3 − 

× kgm 2 

= 

JA T , M ri 

T , 

d 

( ) 

d 

JA T , M ri 

M , 

d 

( ) 

d 

JA T , M ri 

ri , 

d 

( ) 

d 

⋅ΔT 

+ 

JA T , M ri 

M , 

d 

( ) 

d 

⋅ΔT 9.934 10 4 − 

× kgm 2 

= 

⋅ΔM 1.923 10 7 − 

× kgm 2 

= 

⋅Δri 3.465 10 5 − 

× kgm 2 

= 


ΔJA1 := 

⋅ΔM 

JA T , M ri 

ri , 

d 

( ) 

d 

ΔT JA T , M ri 

T , 

2 

2 

⎡ ⎛d 

⎞⎤ 

⎡ ⎛d 

⎞⎤ 

⎢ ⋅⎜ 

( ) ⎟⎥ 

+ ⎢ΔM⋅⎜ 

JA( T , M, 

ri) 

⎟⎥ 

Δri JA T , M ri 

⎣ ⎝d 

⎠⎦ 

⎣ ⎝dM 

⎠⎦ 

ri , 

2 

⎡ ⎛d 

⎞⎤ 

+ ⎢ ⋅⎜ 

( ) ⎟⎥ 

⎣ ⎝d 

⎠⎦ 

ΔJA1 9.94 10 4 − 

× kgm 2 

= 


+ 

⋅Δri 


ΔJA1 

JA( T , M, 

ri) 

= 0.667 

ΔJA1 

= 

66.707 % 

JA( T , M, 

ri)


Ergebnisse: 

1. Hauptversuch 

Spiralfeder (groß) 

kg 

Federkonstante statisch: D = 24. 

075 2 

s 

kg 

kg 

Federkonstante dynamisch: D = 24. 

096 ± 3. 

119 

2 

2 

s 

s 


kg 


054 2 

s 

kg 

kg 

Federkonstante dynamisch: D = 99. 

467 ± 0. 

428 

2 

2 

s 

s 



kg 


0036 2 

s 

Vollzylinder 

Massenträgheitsmoment theoretisch: 

Kugel 

Massenträgheitsmoment theoretisch: 



Massenträgheitsmoment (Aufhängepunkt): 

Massenträgheitsmoment (Schwerpunkt): 

J = 

⋅ 

2 

2 

0. 001649kg 

⋅ m ± 0. 

000046kg 

m 

J = 

⋅ 

2 

2 

0. 001471kg 

⋅ m ± 0. 

000124kg 

m 

JA = 

⋅ 


2 

2 

0. 001495kg 

⋅ m ± 0. 

001028kg 

m 

JS = 

0. 0007738kg 

⋅ m 

2


Ergebnisbetrachtung: 

In den Versuchen mit dem statischen und dynamischen Federpendel haben wir 

herausgefunden, dass die Schwingungsdauer der Feder unabhängig davon ist, wie 

viel Gewicht am unteren Ende der Feder angehängt ist. Die Ergebnisse aus der 

Berechnung der statischen Federkonstante stimmen mit denen der dynamischen 

überein. Die Abweichung der Ergebnisse lässt sich durch die Messungenauigkeit der 

Messinstrumente und durch die Reaktionsverzögerung der Stopper begründen. 

Quellen: 

http://www.physicsnet.at/physik/pendel1.gif 

FK 05 Weinhold 



Anhang: 

Federkonstante Schraubenfeder (Dynamisch) 

große Feder 

Daten der Feder: Länge: 293 mm 

Gewicht: 56,68 g 

Anzahl der Schwingungen: 20 

1.Messung 2. Messung 3. Messung 

normale 

Ausl. 

normale 

Ausl. starke Ausl. 

Messperson Zeit [s] Zeit [s] Zeit [s] Mittel 

Alex 25,60 25,51 25,51 25,54 

Selina 25,45 25,37 25,55 25,46 

Thore 25,52 25,72 25,55 25,60 

kleine Feder 

Mittel gesamt: 25,53 

Schwingungen: 20,00 

Dauer/Schw. 1,28 

Daten der Feder: Länge: 254 mm 



1.Messung 2. Messung 3. Messung 4. Messung 5. Messung 

normale 

Ausl. 

normale 

Ausl. normale Ausl. starke Ausl. starke Ausl. 

Messperson Zeit [s] Zeit [s] Zeit [s] Zeit [s] Zeit [s] Mittel 

Alex 12,51 12,80 12,80 - 12,85 12,74 

Selina 12,40 12,68 12,76 12,63 12,55 12,60 

Thore 12,53 12,64 12,70 12,60 12,65 12,62 


Mittel 12,66 

gesamt: 

Anz. Schw: 20,00 

Dauer/Schw. 0,63


Federkonstante Schraubenfeder (Statisch) 

Reihe 1 

Große Feder 

NullLage 517,0 

Gewicht [g] Länge [mm] 

Auslenk 

[mm] 

100 558,0 41,0 

200 599,3 82,3 

300 640,5 123,5 

400 681,0 164,0 

500 722,0 205,0 

600 762,5 245,5 

700 803,5 286,5 

800 843,9 326,9 

900 883,5 366,5 

1000 926,0 409,0 

Reihe 2 



Auslenk 

[mm] 

100 558,5 41,5 

200 599,8 82,8 

300 641,0 124,0 

400 682,0 165,0 

500 722,8 205,8 

600 763,0 246,0 

700 805,5 288,5 

800 843,5 326,5 

900 884,0 367,0 

1000 925,5 408,5 



Große Feder Mittel 

Mittel 


Gewicht [g] Kraft [F] Länge [mm] 

Auslenk 

[mm] 

100 980,7 558,3 41,3 

200 1961,4 599,6 82,6 

300 2942,1 640,8 123,8 

400 3922,8 681,5 164,5 

500 4903,5 722,4 205,4 

600 5884,2 762,8 245,8 

700 6864,9 804,5 287,5 

800 7845,6 843,7 326,7 

900 8826,3 883,8 366,8 

1000 9807,0 925,8 408,8 

Reihe 1 

kleine Feder 

NullLage 469 


Auslenk 

[mm] 

100 479,1 10,1 

200 489 20,0 

300 498,5 29,5 

400 508,2 39,2 

500 518 49,0 

600 528 59,0 

700 537,8 68,8 

800 547,1 78,1 

900 557,1 88,1 

1000 567 98,0 



Reihe 2 



Auslenk 

[mm] 

100 479,2 10,1 

200 489 19,9 

300 498,5 29,4 

400 508,2 39,1 

500 518,1 49,0 

600 527,6 58,5 

700 537,5 68,4 

800 547,3 78,2 

900 557 87,9 

1000 567,5 98,4 

kleine Feder Mittel 

Mittel 


Gewicht [g] Kraft [F] Länge [mm] 

Auslenk 

[mm] 

100 980,7 479,2 10,1 

200 1961,4 489,0 20,0 

300 2942,1 498,5 29,5 

400 3922,8 508,2 39,2 

500 4903,5 518,1 49,0 

600 5884,2 527,8 58,7 

700 6864,9 537,7 68,6 

800 7845,6 547,2 78,2 

900 8826,3 557,1 88,0 

1000 9807,0 567,3 98,2 

Federkonstante Spiralfeder (Statisch) 

Messungen [N] 

α 1 2 3 4 5 Mittel 

180 0,34 0,34 0,34 0,34 0,34 0,34 

360 0,70 0,67 0,72 0,70 0,72 0,70 

540 1,90 1,60 1,50 1,70 1,40 1,62 



Massenträgheitsmoment schwingender Körper (Spiralfeder) 

Kugel 

Daten der Kugel: Durchmesser: 138 mm 




normale 

Ausl. normale Ausl. starke Ausl. 


Alex 16,70 17,20 16,80 16,90 

Selina 16,55 16,75 16,85 16,72 

Thore 16,95 16,75 25,55 16,85 

Vollzylinder 




Daten des Vollzylinders: Durchmesser: 215 mm 



1.Messung 2. Messung 3. Messung 4. Messung 

normale 

Ausl. normale Ausl. normale Ausl. starke Ausl. 

Messperson Zeit [s] Zeit [s] Zeit [s] Zeit [s] Mittel 

Alex 16,10 16,40 16,90 16,30 16,43 

Selina 16,50 16,55 16,62 16,55 16,56 

Thore 16,00 - 16,15 16,47 16,21 

Mittel 16,40 

gesamt: 

Anz. Schw: 10,00 




Pneul 

Daten des Pneul Gewicht: 186,36 g 



normale 

Ausl. normale Ausl. starke Ausl. 


Alex 10,60 10,50 10,50 10,53 

Selina 10,65 10,65 11,05 10,78 

Thore 10,00 10,08 10,05 10,04 




Massenschwerpunkt (Dünnwandiger Hohlzylinder) 

Masse: 387,51g 

Durchmesser Innen 86,3mm 

Durchmesser 

Aussen 90,1mm 

Anz. Schwingungen 

Zeit [s] Alex Selina Thore 

20 12,1 12,05 12,15 

20 11,9 12,05 12,1 

20 12 12,1 12,03

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