Staatsexamensklausur für das Lehramt L 1 (Wahlfach)/L 2/L 5 ...
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<strong>Staatsexamensklausur</strong> <strong>für</strong> <strong>das</strong> <strong>Lehramt</strong> L 1 (<strong>Wahlfach</strong>)/L 2/L 5<br />
Frühjahr 2001<br />
Mathematik<br />
Zugelassenes Hilfsmittel:<br />
Einfacher nicht programmierbarer Taschenrechner (ohne Lösemodule sowie sonstige<br />
Computeralgebrakomponenten und ohne Grafik)<br />
Mathematischer Teil<br />
Bearbeitungszeit: 2 Stunden<br />
Gewertet werden die drei besten Aufgaben.<br />
1 Geometrie<br />
a) Beweisen Sie den Kongruenzsatz (SSS).<br />
b) Zeichnen Sie die Dreiecke ΔABC und ΔA’B’C’, die durch die Punkte<br />
2 Algebra<br />
A = (–4⏐0), B = (5⏐–2), C = ( 5⏐3) bzw. A’ = (0⏐8), B’ = (7⏐2), C’ = (3⏐–1)<br />
gegeben sind.<br />
Zeigen Sie, <strong>das</strong>s man <strong>das</strong> Dreieck ΔABC durch eine Geradenspiegelung in <strong>das</strong> Dreieck<br />
ΔA’B’C’ überführen kann. Geben Sie dazu die Gleichung der Spiegelachse an und weisen<br />
Sie explizit nach, <strong>das</strong>s die entsprechenden Punkte durch die Spiegelung ineinander<br />
überführt werden.<br />
a) Zeigen Sie, <strong>das</strong>s [998] in Z2001 multiplikativ invertierbar ist, und geben Sie die<br />
Inverse an.<br />
b) Lösen Sie <strong>das</strong> folgende lineare Gleichungssystem mit den Unbekannten x, y und z in<br />
Abhängigkeit des Parameters t.<br />
3 Analysis<br />
x + 2 t y + (t − 2) z = 3 t + 6<br />
2 x + t y = 6 t + 2<br />
x + (t 2 − 4) z = 8 t + 11<br />
Für welche Werte von t ist <strong>das</strong> System unlösbar, eindeutig lösbar bzw. nicht eindeutig<br />
lösbar? Geben Sie gegebenenfalls die Menge aller Lösungen in Abhängigkeit von t an.<br />
a) Betrachten Sie die reelle Funktion h, die definiert ist durch:<br />
x<br />
2<br />
+ x − 2<br />
h(x) =<br />
x + x<br />
2<br />
Geben Sie die Grenzwerte von h (eigentliche und uneigentliche) bei Annäherung an die<br />
Grenzen des Definitionsbereichs von h an, zeichnen Sie den Graphen H von h und<br />
bestimmen Sie den Wertebereich W von h.<br />
1
) In der (x,y)-Ebene sind die Punkte A = (2⏐-1) und B = (3⏐0) gegeben.<br />
Bestimmen Sie alle quadratischen Funktionen f, deren Graphen F durch A und B gehen.<br />
Geben Sie von diesen Graphen einen an, der die Gerade mit der Gleichung<br />
2x + y - 2 = 0<br />
als Tangente besitzt. Wie viele der Graphen haben diese Eigenschaft? Skizze!<br />
c) Betrachten Sie die reellen Zahlenfolgen (xn) und (yn), definiert durch:<br />
x1 = 2 und xn+1 = 2xn<br />
yn = 2 n + 3<br />
Zeigen Sie, <strong>das</strong>s die Zahlenfolgen (xn - yn) und (yn/yn+1) konvergieren und geben Sie ihren<br />
jeweiligen Grenzwert an.<br />
4 Stochastik<br />
In einer Urne befinden sich zehn Lose (zusammengefaltete Stückchen Papier). Auf den Losen<br />
steht jeweils eine Zahl geschrieben: die Zahlen 5 (viermal), 3 (zweimal) und 1(einmal), sowie<br />
dreimal die 0 (als Niete).<br />
Eine Ziehung (in den Aufgabenteilen a) und b)) geht folgendermaßen vor sich:<br />
Axel zieht mit verbundenen Augen vier davon mit einem Griff (also auf einmal) und legt sie vor<br />
sich auf den Tisch.<br />
a) Wie viele Ergebnisse einer solchen Ziehung sind denkbar, wenn nur interessiert,<br />
(1) wie oft die Zahl 5 gezogen wurden?<br />
(2) welche Lose bei der Ziehung gezogen wurden?<br />
(3) wie groß bei der Ziehung die Summe der gezogenen Zahlen ist?<br />
(4) ob lauter verschiedene Zahlen gezogen wurden?<br />
b) Geben Sie <strong>für</strong> (1), (2), (3) und (4) aus Teil a) jeweils eine bestimmte Möglichkeit (ein bestimmtes<br />
"Ergebnis") an und berechnen Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeit (Formel<br />
genügt).<br />
Ab jetzt werden Modifikationen der Ziehung diskutiert.<br />
c) Axel nimmt nun bei einer Ziehung* die vier Lose einzeln aus der Urne und legt sie jeweils<br />
nach dem Ansehen wieder zurück. Wie groß ist die Chance (in %) <strong>für</strong> Axel, bei einer<br />
Ziehung* genau drei Lose mit der Zahl 5 und eine Niete zu ziehen?<br />
d) Wie oft müsste Axel mindestens jeweils ein Los ziehen und wieder zurücklegen, um mit<br />
einer Wahrscheinlichkeit von größer oder gleich 80% wenigstens einmal eine 5 gezogen zu<br />
haben?<br />
e) Eine Ziehung** geht folgendermaßen:<br />
Axel zieht ein Los, schaut sich die Zahl an und verfährt dann so:<br />
− Handelt es sich um eine Niete, so wirft er <strong>das</strong> Los weg und zieht noch einmal ein Los<br />
(aus den verbleibenden Losen).<br />
− Handelt es sich nicht um eine Niete, so legt er <strong>das</strong> Los zurück in die Urne und zieht<br />
noch einmal ein Los.<br />
Das Ergebnis von Ziehung** besteht in beiden Fällen aus dem zweiten Los.<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Ziehung** eine 5 zu erhalten?<br />
2
Mathematikdidaktischer Teil<br />
Bearbeitungszeit: 2 Stunden<br />
1 Geometrie<br />
a) Erklären Sie schülergerecht den Begriff Pyramide.<br />
b) Skizzieren Sie, wie sich der Begriff Pyramide in den Klassen 5 bis 10 entwickelt. Erläutern<br />
Sie die einzelnen Stufen mit Beispielen.<br />
c) Zeigen Sie, wie man durch Modelle, Zeichnungen usw. die Behandlung des Begriffs<br />
Pyramide unterstützen kann. Vergleichen Sie dabei verschiedene Möglichkeiten.<br />
d) Beschreiben Sie in Stichwörtern, wie Sie den Oberflächeninhalt von Pyramiden im<br />
Unterricht behandeln würden.<br />
2 Algebra<br />
a) Gegeben ist die folgende<br />
Aufgabe 1:<br />
Die Differenz zweier Zahlen ist 10, ihr Produkt 144. Wie heißen die Zahlen?<br />
Diese Aufgabe soll in Klasse 9 behandelt werden.<br />
(1) Wie sollen die Schüler die Aufgabe 1 lösen?<br />
(2) Welche Schwierigkeiten erwarten Sie dabei?<br />
(3) Welche Hilfen würden Sie zur Überwindung der Schwierigkeiten geben?<br />
(4) Welche Ziele verfolgen Sie mit dem Einsatz der Aufgabe 1?<br />
b) Wie könnte ein Schüler in Klasse 5 die Aufgabe 1 aus a) lösen?<br />
Wären Sie mit einer solchen Lösung auch in Klasse 9 zufrieden? Begründen Sie Ihre<br />
Antwort.<br />
c) Gegeben ist die folgende<br />
Aufgabe 2:<br />
Eine Pferdeweide hat den Flächeninhalt 860 m². Zur Einfriedung benötigte man 123 m<br />
Zaun.<br />
Vergleichen Sie Aufgabe 2 mit Aufgabe 1 aus a).<br />
3