Staatsexamensklausur für das Lehramt L 1 (Wahlfach)/L 2/L 5 ...

Staatsexamensklausur für das Lehramt L 1 (Wahlfach)/L 2/L 5
Frühjahr 2001
Mathematik
Zugelassenes Hilfsmittel:
Einfacher nicht programmierbarer Taschenrechner (ohne Lösemodule sowie sonstige
Computeralgebrakomponenten und ohne Grafik)
Mathematischer Teil
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Gewertet werden die drei besten Aufgaben.
1 Geometrie
a) Beweisen Sie den Kongruenzsatz (SSS).
b) Zeichnen Sie die Dreiecke ΔABC und ΔA’B’C’, die durch die Punkte
2 Algebra
A = (–4⏐0), B = (5⏐–2), C = ( 5⏐3) bzw. A’ = (0⏐8), B’ = (7⏐2), C’ = (3⏐–1)
gegeben sind.
Zeigen Sie, dass man das Dreieck ΔABC durch eine Geradenspiegelung in das Dreieck
ΔA’B’C’ überführen kann. Geben Sie dazu die Gleichung der Spiegelachse an und weisen
Sie explizit nach, dass die entsprechenden Punkte durch die Spiegelung ineinander
überführt werden.
a) Zeigen Sie, dass [998] in Z2001 multiplikativ invertierbar ist, und geben Sie die
Inverse an.
b) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit den Unbekannten x, y und z in
Abhängigkeit des Parameters t.
3 Analysis
x + 2 t y + (t − 2) z = 3 t + 6
2 x + t y = 6 t + 2
x + (t 2 − 4) z = 8 t + 11
Für welche Werte von t ist das System unlösbar, eindeutig lösbar bzw. nicht eindeutig
lösbar? Geben Sie gegebenenfalls die Menge aller Lösungen in Abhängigkeit von t an.
a) Betrachten Sie die reelle Funktion h, die definiert ist durch:
x
2
+ x − 2
h(x) =
x + x
2
Geben Sie die Grenzwerte von h (eigentliche und uneigentliche) bei Annäherung an die
Grenzen des Definitionsbereichs von h an, zeichnen Sie den Graphen H von h und
bestimmen Sie den Wertebereich W von h.
1

) In der (x,y)-Ebene sind die Punkte A = (2⏐-1) und B = (3⏐0) gegeben.
Bestimmen Sie alle quadratischen Funktionen f, deren Graphen F durch A und B gehen.
Geben Sie von diesen Graphen einen an, der die Gerade mit der Gleichung
2x + y - 2 = 0
als Tangente besitzt. Wie viele der Graphen haben diese Eigenschaft? Skizze!
c) Betrachten Sie die reellen Zahlenfolgen (xn) und (yn), definiert durch:
x1 = 2 und xn+1 = 2xn
yn = 2 n + 3
Zeigen Sie, dass die Zahlenfolgen (xn - yn) und (yn/yn+1) konvergieren und geben Sie ihren
jeweiligen Grenzwert an.
4 Stochastik
In einer Urne befinden sich zehn Lose (zusammengefaltete Stückchen Papier). Auf den Losen
steht jeweils eine Zahl geschrieben: die Zahlen 5 (viermal), 3 (zweimal) und 1(einmal), sowie
dreimal die 0 (als Niete).
Eine Ziehung (in den Aufgabenteilen a) und b)) geht folgendermaßen vor sich:
Axel zieht mit verbundenen Augen vier davon mit einem Griff (also auf einmal) und legt sie vor
sich auf den Tisch.
a) Wie viele Ergebnisse einer solchen Ziehung sind denkbar, wenn nur interessiert,
(1) wie oft die Zahl 5 gezogen wurden?
(2) welche Lose bei der Ziehung gezogen wurden?
(3) wie groß bei der Ziehung die Summe der gezogenen Zahlen ist?
(4) ob lauter verschiedene Zahlen gezogen wurden?
b) Geben Sie für (1), (2), (3) und (4) aus Teil a) jeweils eine bestimmte Möglichkeit (ein bestimmtes
"Ergebnis") an und berechnen Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeit (Formel
genügt).
Ab jetzt werden Modifikationen der Ziehung diskutiert.
c) Axel nimmt nun bei einer Ziehung* die vier Lose einzeln aus der Urne und legt sie jeweils
nach dem Ansehen wieder zurück. Wie groß ist die Chance (in %) für Axel, bei einer
Ziehung* genau drei Lose mit der Zahl 5 und eine Niete zu ziehen?
d) Wie oft müsste Axel mindestens jeweils ein Los ziehen und wieder zurücklegen, um mit
einer Wahrscheinlichkeit von größer oder gleich 80% wenigstens einmal eine 5 gezogen zu
haben?
e) Eine Ziehung** geht folgendermaßen:
Axel zieht ein Los, schaut sich die Zahl an und verfährt dann so:
− Handelt es sich um eine Niete, so wirft er das Los weg und zieht noch einmal ein Los
(aus den verbleibenden Losen).
− Handelt es sich nicht um eine Niete, so legt er das Los zurück in die Urne und zieht
noch einmal ein Los.
Das Ergebnis von Ziehung** besteht in beiden Fällen aus dem zweiten Los.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Ziehung** eine 5 zu erhalten?
2

Mathematikdidaktischer Teil
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
1 Geometrie
a) Erklären Sie schülergerecht den Begriff Pyramide.
b) Skizzieren Sie, wie sich der Begriff Pyramide in den Klassen 5 bis 10 entwickelt. Erläutern
Sie die einzelnen Stufen mit Beispielen.
c) Zeigen Sie, wie man durch Modelle, Zeichnungen usw. die Behandlung des Begriffs
Pyramide unterstützen kann. Vergleichen Sie dabei verschiedene Möglichkeiten.
d) Beschreiben Sie in Stichwörtern, wie Sie den Oberflächeninhalt von Pyramiden im
Unterricht behandeln würden.
2 Algebra
a) Gegeben ist die folgende
Aufgabe 1:
Die Differenz zweier Zahlen ist 10, ihr Produkt 144. Wie heißen die Zahlen?
Diese Aufgabe soll in Klasse 9 behandelt werden.
(1) Wie sollen die Schüler die Aufgabe 1 lösen?
(2) Welche Schwierigkeiten erwarten Sie dabei?
(3) Welche Hilfen würden Sie zur Überwindung der Schwierigkeiten geben?
(4) Welche Ziele verfolgen Sie mit dem Einsatz der Aufgabe 1?
b) Wie könnte ein Schüler in Klasse 5 die Aufgabe 1 aus a) lösen?
Wären Sie mit einer solchen Lösung auch in Klasse 9 zufrieden? Begründen Sie Ihre
Antwort.
c) Gegeben ist die folgende
Aufgabe 2:
Eine Pferdeweide hat den Flächeninhalt 860 m². Zur Einfriedung benötigte man 123 m
Zaun.
Vergleichen Sie Aufgabe 2 mit Aufgabe 1 aus a).
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