Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

2.2 Der Flächenschwerpunkt 77
2.2 Der Flächenschwerpunkt
2.2.1 Flächen haben einen Schwerpunkt
Es soll der Lösungsansatz zur Schwerpunktsbestimmung
für eine dünne, symmetrische Blechscheibe
mit Hilfe des Momentensatzes entwickelt
werden. Dazu denkt man sich die Scheibe aus
zwei Teilstücken mit den Teilflächen A1 und A2
und der Dicke s zusammengesetzt.
Der Schwerpunkt muss auf der Symmetrielinie x
liegen. Man braucht nur noch den Schwerpunktsabstand
x0 von der rechten Blechkante zu bestimmen.
Die Teilgewichtskräfte FG1 und FG2 berechnet man
aus dem Volumen der Teilstücke, der Dichte r
ihres Werkstoffs und der Fallbeschleunigung g.
Das Volumen der Teilstücke wird aus den Teilflächen
A1, A2 und der Blechdicke s bestimmt.
Die Gewichtskraft FG der ganzen Blechscheibe berechnet
man in gleicher Weise mit der Gesamtfläche
A ¼ A1 þ A2.
Dann wird der Momentensatz aufgestellt (Seite 38).
Für die Gewichtskräfte setzt man die oben gefundenen
Beziehungen ein und entwickelt daraus eine
Bestimmungsgleichung für den Schwerpunktsabstand
x0, aus der sich die Blechdicke s, die Dichte
r und die Fallbeschleunigung g herauskürzen.
Das Ergebnis zeigt, dass die Schwerpunktslage
auch mit den Teilflächen und der Gesamtfläche ermittelt
werden kann.
Auch Flächen haben also einen Schwerpunkt.
Die Bestimmung des Flächenschwerpunkts ist z. B.
für die Berechnung von Flächenmomenten zweiten
Grades in der Festigkeitslehre erforderlich.
FG1 ¼ m1g ¼ V1 rg
FG2 ¼ m2g ¼ V2 rg
V1 ¼ A1s und V2 ¼ A2s
folglich ist
FG1 ¼ A1srg und FG2 ¼ A2 srg
FG ¼ FG1 þ FG2 ¼ðA1 þ A2Þ srg
FG ¼ Asrg
Momentensatz:
þFG x0 ¼þFG1x1 þ FG2 x2
Vorzeichen beachten. Linksdrehsinn ist
positiv.
Asrgx0 ¼ A1srgx1 þ A2 srgx2
x0 ¼ ðA1x1 þ A2x2Þ srg
¼
Asrg
A1x1 þ A2x2
A
Ax0 ¼ A1x1 þ A2x2 þ þAnxn ¼ SAnxn
Momentensatz für Flächen
Beachte: Für die Flächenmomente Ax sind
die Vorzeichen entsprechend dem Drehsinn
einzusetzen (links þ, rechts ).
Die Flächenmomente Ax heißen nach
DIN 1304 Flächenmomente 1. Grades.