Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

1.3 Statik der ebenen Fachwerke 71
Für jeden Knotenpunkt stehen die beiden Gleichgewichtsbedingungen SFx ¼ 0undSFy ¼ 0
zur Berechnung von zwei unbekannten Stabkräften zur Verfügung. Wurden vorher die Auflagerkräfte
FA und FB berechnet, liegen meistens dort die Ausgangsknoten für den Berechnungsgang,
wie hier im Beispiel die Knoten I und VII mit den zwei unbekannten Stabkräften
FS1 und FS2 am Knoten I und FS10 und FS11 am Knoten VII. Von den anschließenden Knoten
sucht man sich denjenigen mit maximal zwei unbekannten Stabkräften heraus und erhält nacheinander
alle Stabkräfte des Fachwerkträgers. Häufig ist dieses schrittweise Vorgehen einfacher
als das Aufstellen und Lösen eines Gleichungssystems.
Das Knotenschnittverfahren kann auch zeichnerisch durchgeführt werden. Die entsprechenden
Skizzen der Kräftepläne zur zeichnerischen Ermittlung der unbekannten Stabkräfte wurden
daher mit aufgenommen. Sie stehen rechts neben den Skizzen der freigemachten Knoten und
führen zum Verständnis des Cremonaplans in 1.3.3.3.
Zur Lagebestimmung der schrägen Stabkräfte als Zugkräfte wird der Winkel a als spitzer Winkel
zur x-Achse verwendet. Es gelten dann die Beziehungen FSx ¼ FS cos a für die x-Komponente
und FSy ¼ FS sin a für die y-Komponente der Stabkraft FS (siehe 1.1.6.2, Seite 9).
Der Winkel a beträgt 45 .
Die vorher berechneten Stützkräfte betragen FA ¼ 4,75 kN, FB ¼ 4,25 kN. Im Knoten I greifen
außer der bereits ermittelten Stützkraft FA ¼ 4,75 kN nur noch die beiden Stabkräfte FS1
und FS2 an, die nun berechnet werden können:
Für Knoten I gilt:
I) SFx ¼ 0 ¼ FS1 þ FS2 cos a
II) SFy ¼ 0 ¼ FA FS2 sin a
I) und II) FS2 ¼ FS1=cos a ¼ FA=sin a
und mit cos a=sin a ¼ 1=tan a
FS1 ¼ FA=tan a ¼ 4,75 kN=1 ¼ 4,75 kN
(Druck)
FS2 ¼ FA=sin a ¼þ6,72 kN (Zug)
Für Knoten II gilt:
I) SFx ¼ 0 ¼ FS1 þ FS4
! FS4 ¼ FS1 ¼ 4,75 kN (Druck)
II) SFy ¼ 0 ¼ F1 FS3
! FS3 ¼ F1 ¼ 4 kN (Druck)
Hinweis zum Kräfteplan:
Die Stabkraft FS1 (Druckkraft) drückt von rechts
nach links wirkend auf den Knoten I.
Im Kräfteplan II muss FS1 als Druckkraft auf den
Knoten II nach rechts wirken.
Für Knoten III gilt:
I) SFx ¼ 0 ¼ FS6 þ FS5 cos a FS2 cos a
II) SFy ¼ 0 ¼ FS3 þ FS2 sin a þ FS5 sin a
II) FS5 ¼ð FS3 FS2 sin aÞ=sin a ¼ 1,06 kN (Druck)
I) FS6 ¼ FS2 cos a FS5 cos a ¼þ5,5 kN (Zug)