Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

1.3 Statik der ebenen Fachwerke 69
1.3.2 Die Gleichgewichtsbedingungen am statisch bestimmten Fachwerkträger
Der skizzierte einfachste Fachwerkträger besteht
aus den drei Stäben 1, 2, 3, die in Dreiecksform in
den Knoten I, II und III miteinander verbunden
sind. Øußere Kräfte F dürfen nur über die Knoten
in das Tragwerk eingeleitet werden (Kraft F in
Knoten II). Im Festlager A und Loslager B ist der
Träger mit den drei Auflagerkräften FAx, FAy und
FB wie üblich statisch bestimmt abgestützt (statisches
Gleichgewicht, siehe z. B. Abschnitt 1.2.5.3,
Seite 44). Beim Vollwandträger sind damit die
Gleichgewichtsbetrachtungen abgeschlossen. Beim
Fachwerkträger dagegen muss zusätzlich die Verschiebbarkeit
der Stäbe gegeneinander untersucht
werden. Man unterscheidet daher zwischen äußerer
und innerer statischer Bestimmtheit.
Ist k die Anzahl der Knoten für das ganze System,
so ist wegen SFx ¼ 0, SFy ¼ 0 die Anzahl der
zur Verfügung stehenden Gleichgewichtsbedingungen
2k.
Ist s die Anzahl der unbekannten Stabkräfte, dann
ist mit den drei Lagerkräften FAx, FAy, FB die
Anzahl der unbekannten Kräfte s þ 3.
Bei einem statisch bestimmten System muss die
Anzahl der Lösungsgleichungen gleich der Anzahl
der Unbekannten sein, hier also 2 k ¼ s þ 3. Es ist
üblich, diese Gleichung nach der Anzahl s der erforderlichen
Profilstäbe aufzulösen und als Bedingung
für die innere statische Bestimmtheit die
Gleichung s ¼ 2 k 3 zu verwenden.
Der skizzierte Fachwerkträger mit vier Knoten
(k ¼ 4) und vier Stäben (s ¼ 4) ist in der eingezeichneten
Drehrichtung beweglich (Gelenkviereck),
für Kraftübertragungen daher ungeeignet.
Enthält ein Fachwerk ein solches Stabsystem,
nennt man es statisch unbestimmt. Die Bedingung
für statische Bestimmtheit ist hier mit k ¼ 4
Knoten und s ¼ 4 Stäben nicht erfüllt
(s ¼ 4 < 2 k 3 ¼ 5). Aus dem statisch unbestimmten
Fachwerk wird ein statisch bestimmtes
erst bei Hinzunahme eines fünften Stabes:
s ¼ 5 ¼ 2 4 3.
Freigemachter einfachster Fachwerkträger
(Stabdreieck, Dreiecksverband)
k ¼ 3 Knoten, s ¼ 3 Stäbe
2k ¼ Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen
(hier 2 3 Knoten ¼ 6 Gleichgewichtsbedingungen)
s þ 3 ¼ Anzahl unbekannter Kräfte
(hier s þ 3 ¼ 3 þ 3 ¼ 6 unbekannte Kräfte)
2 k ¼ s þ 3
s ¼ 2 k 3
Bedingung für die innere statische
Bestimmtheit
(mit s ¼ 2 k 3 ¼ 2 3 3 ¼ 6 3 ¼ 3
Stäbe hier erfüllt)
Bewegliches Fachwerk, statisch unbestimmt
(Gelenkviereck): s < 2 4 3 ¼ 5