Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
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66 Um direkt eine Gleichung für die andere Stützkraftkomponente FBy zu bekommen, wird die Momentengleichgewichtsbedingung noch einmal angesetzt, diesmal um den Lagerpunkt A: Beachte: Die Kräftegleichgewichtsbedingung SFy ¼ 0 wird dann zur Kontrolle der voraufgegangenen Rechnung benutzt. SM ðAÞ ¼ 0 ¼ Fr2l1 þðFr3 cos a þ Ft3 sin aÞðl1 þ l2ÞþFByl Fa2r2 Fa3r3 cos a FBy ¼ Fr2l1 ðFr3 cos a þ Ft3 sin aÞðl1 þ l2ÞþFa2r2 þ Fa3r3 cos a l Zur Kontrolle: SFy ¼ 0 ¼ FAy Fr2 þ Fr3 cos a þ Ft3 sin a þ FBy (3) Aus der Kräftegleichgewichtsbedingung in z-Richtung ergibt sich: SFz ¼ 0 ¼ Fa2 Fa3 Fa Fa ¼ Fa2 Fa3 (4) Nun werden die Gleichgewichtsbedingungen für die in der z, x-Ebene wirkenden Kräfte und Kraftmomente entwickelt. Aus der Lageskizze 4 ist abzulesen: SMðBÞ ¼ 0 ¼ FAxl þ Ft2ðl l1Þþ þðFt3 cos a Fr3 sin aÞ l3 FAx ¼ Ft2ðl l1ÞþðFt3 cos a Fr3 sin aÞ l3 l SM ðAÞ ¼ 0 ¼ Ft2l1 þðFr3 sin a Ft3 cos aÞðl1 þ l2ÞþFBxl FBx ¼ Ft2l1 ðFr3 sin a Ft3 cos aÞðl1 þ l2Þ l Zur Kontrolle: (5) (6) SFx ¼ 0 ¼ FAx Ft2 þ Fr3 sin a Ft3 cos a þ FBx (7) 1 Statik in der Ebene (2) Die Axialkraft Fa ist die Differenz der beiden Axialkräfte Fa2 und Fa3. Sie wird entweder in A oder in B von einem Festlager aufgenommen. Lageskizze 4 der Welle für den Kraftangriff in der z, x-Ebene
1.2 Die Grundaufgaben der Statik 67 Die Stützkraftkomponenten FAx und FAy stehen rechtwinklig aufeinander, ebenso FBx und FBy. Mit dem Lehrsatz des Pythagoras lassen sich daher die Stützkräfte FA und FB berechnen. Die Gleichungen (1), (2), (5) und (6) werden in die Gleichungen (8) und (9) eingebracht. Dann stehen zwei direkt auswertbare Gleichungen für die Stützkräfte zur Verfügung. FA ¼ 1 l FB ¼ 1 l FA ¼ FB ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FAx 2 þ FAy 2 q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FBx 2 þ FBy 2 q (8) (9) Hinweis: Für die Ermittlung des Biegemomentenverlaufs werden die Stützkraftkomponenten FAx, FBx und FBy gebraucht, für die Lagerberechnung die resultierenden Stützkräfte FA und FB. ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ½Ft2ðl l1Þþl3ðFt3 cos a Fr3 sin aÞŠ 2 þ þ½Fr2ðl l1Þ Fa2r2 l3ðFr3 cos a þ Ft3 sin aÞ Fa3r3 cos aŠ 2 s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ½Ft2l1 ðl1 þ l2ÞðFr3 sin a Ft3 cos aÞŠ 2 þ þ½Fr2l1 ðl1 þ l2ÞðFr3 cos a þ Ft3 sin aÞþFa2r2 þ Fa3r3 cos aŠ 2 s Berechnungsbeispiel: Für die Getriebezwischenwelle aus der Aufgabenskizze (Seite 64) sollen die Stützkräfte berechnet werden. Aus dem Getriebeentwurf sind alle erforderlichen Längen und Zahnkräfte des Schrägstirnradgetriebes bekannt, ebenso die Wälzkreisradien r2 und r3 sowie der Versatzwinkel a. Gegeben: Fr2 ¼ 2 081 N Fr2 ¼ 784 N Fa2 ¼ 558 N r2 ¼ 50,5 mm Versatzwinkel a ¼ 0 Ft3 ¼ 2 586 N Fr3 ¼ 956 N Fa3 ¼ 693 N r3 ¼ 40,6 mm Gesucht: FAx, FBx, FAy, FBy, FA, FB, Fa (10) (11) l ¼ 220 mm l1 ¼ 70 mm l2 ¼ 100 mm l3 ¼ 50 mm Die Auswertung der entwickelten Gleichungen (1) ...(9) führt zu folgenden Ergebnissen: FAx ¼ 2 006,6 N FBx ¼ 2 660,4 N FAy ¼ 61,3 N FBy ¼ 233,3 N FA ¼ 2 007,5 N FB ¼ 2 670,6 N Fa ¼ 135 N Kontrolle: SFx ¼½2006,6 2 081 þ 956 sin 0 2 586 cos 0 þ 2 660,4Š N ¼ 0 SFy ¼½61,3 784 þ 956 cos 0 þ 2 586 sin 0 þð 233,3ÞŠ N ¼ 0
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- Seite 135 und 136: 3.4 Reibung an Maschinenteilen 115
1.2 Die Grundaufgaben der Statik 67<br />
Die Stützkraftkomponenten FAx und FAy stehen<br />
rechtwinklig aufeinander, ebenso FBx und FBy. Mit<br />
dem Lehrsatz des Pythagoras lassen sich daher die<br />
Stützkräfte FA und FB berechnen.<br />
Die Gleichungen (1), (2), (5) und (6) werden in<br />
die Gleichungen (8) und (9) eingebracht. Dann stehen<br />
zwei direkt auswertbare Gleichungen für die<br />
Stützkräfte zur Verfügung.<br />
FA ¼ 1<br />
l<br />
FB ¼ 1<br />
l<br />
FA ¼<br />
FB ¼<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
FAx 2 þ FAy 2<br />
q<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
FBx 2 þ FBy 2<br />
q<br />
(8)<br />
(9)<br />
Hinweis: Für die Ermittlung des Biegemomentenverlaufs<br />
werden die Stützkraftkomponenten<br />
FAx, FBx und FBy gebraucht,<br />
für die Lagerberechnung die resultierenden<br />
Stützkräfte FA und FB.<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
½Ft2ðl l1Þþl3ðFt3 cos a Fr3 sin aÞŠ 2 þ<br />
þ½Fr2ðl l1Þ Fa2r2 l3ðFr3 cos a þ Ft3 sin aÞ Fa3r3 cos aŠ 2<br />
s<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
½Ft2l1 ðl1 þ l2ÞðFr3 sin a Ft3 cos aÞŠ 2 þ<br />
þ½Fr2l1 ðl1 þ l2ÞðFr3 cos a þ Ft3 sin aÞþFa2r2 þ Fa3r3 cos aŠ 2<br />
s<br />
Berechnungsbeispiel:<br />
Für die Getriebezwischenwelle aus der Aufgabenskizze<br />
(Seite 64) sollen die Stützkräfte berechnet<br />
werden. Aus dem Getriebeentwurf sind alle erforderlichen<br />
Längen und Zahnkräfte des Schrägstirnradgetriebes<br />
bekannt, ebenso die Wälzkreisradien<br />
r2 und r3 sowie der Versatzwinkel a.<br />
Gegeben:<br />
Fr2 ¼ 2 081 N<br />
Fr2 ¼ 784 N<br />
Fa2 ¼ 558 N<br />
r2 ¼ 50,5 mm<br />
Versatzwinkel a ¼ 0<br />
Ft3 ¼ 2 586 N<br />
Fr3 ¼ 956 N<br />
Fa3 ¼ 693 N<br />
r3 ¼ 40,6 mm<br />
Gesucht:<br />
FAx, FBx, FAy, FBy, FA, FB, Fa<br />
(10)<br />
(11)<br />
l ¼ 220 mm<br />
l1 ¼ 70 mm<br />
l2 ¼ 100 mm<br />
l3 ¼ 50 mm<br />
Die Auswertung der entwickelten Gleichungen (1) ...(9) führt zu folgenden Ergebnissen:<br />
FAx ¼ 2 006,6 N<br />
FBx ¼ 2 660,4 N<br />
FAy ¼ 61,3 N<br />
FBy ¼ 233,3 N<br />
FA ¼ 2 007,5 N<br />
FB ¼ 2 670,6 N<br />
Fa ¼ 135 N<br />
Kontrolle:<br />
SFx ¼½2006,6 2 081 þ 956 sin 0 2 586 cos 0 þ 2 660,4Š N ¼ 0<br />
SFy ¼½61,3 784 þ 956 cos 0 þ 2 586 sin 0 þð 233,3ÞŠ N ¼ 0