Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
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38 1.2.5 Die vier Grundaufgaben der Statik im allgemeinen ebenen Kräftesystem 1.2.5.1 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (fünfte Grundaufgabe), der Momentensatz Aufgabe: Für das in der Lageskizze dargestellte Kräftesystem soll die Resultierende nach Betrag, Lage und Richtungssinn rechnerisch ermittelt werden. Die Wirklinien der Kräfte liegen parallel, weil dieser Fall die größere praktische Bedeutung hat und der Lösungsgang übersichtlicher wird. Vorüberlegung: Betrag und Richtungswinkel der Resultierenden werden auf dieselbe Weise berechnet wie in der ersten Grundaufgabe. Damit erhält man zugleich Klarheit über die Verschiebewirkung des Kräftesystems. Die Resultierende muss aber auch die gleiche Drehwirkung wie das Kräftesystem haben. Davon hängt ihre Lage ab. Diese Erkenntnis ist im Momentensatz festgelegt: Frx ¼ SFnx Fr ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Frx 2 þ Fry 2 q Fry ¼ SFny b r ¼ arctan jFryj jFrxj Das Kraftmoment Mr der Resultierenden, bezogen auf einen beliebigen Punkt D, ist gleich der Summe der Kraftmomente der Einzelkräfte in Bezug auf denselben Punkt. Mr ¼ M1 þ M2 þ M3 þ ...þ Mn Lösung: In eine unmaßstäbliche Lageskizze werden alle gegebenen Kräfte und alle bekannten Abstandsmaße eingetragen. Für den Momentensatz wird der Momentenbezugspunkt D festgelegt und zwar zweckmäßig auf der Wirklinie einer gegebenen Kraft, weil deren Kraftmoment dann null wird und nicht in die Rechnung eingeht. Betrag und Richtungssinn der Resultierenden Fr lassen sich dann nach der Lageskizze berechnen. Da hier alle Wirklinien parallel sind, braucht man nur die algebraische Summe aller Kräfte zu ermitteln. 1 Statik in der Ebene Frl0 ¼ F1l1 þ F2l2 þ F3l3 þ ...þ Fnln Momentensatz Beachte: Vorzeichen entsprechend dem Drehsinn einsetzen (links þ, rechts ) Fr ¼ SFy ¼ F1 F2 þ F3 F4 Fr ¼ 15 N 40 N þ 10 N 20 N Fr ¼ 65 N Das Minuszeichen bedeutet hier: Fr wirkt nach unten
1.2 Die Grundaufgaben der Statik 39 Erst dann wird die Resultierende mit dem ermittelten Richtungssinn in die Lageskizze eingetragen, und zwar auf einer Wirklinie, deren Lage man unter Berücksichtigung der gegebenen Kräfte „nach Gefühl“ annimmt (hier zwischen den Wirklinien von F2 und F3). Die tatsächliche Lage der Resultierenden wird mit dem Momentensatz bestimmt. Der Bezugspunkt D ist auf der Wirklinie der Kraft F4 festgelegt. Dann wird das Kraftmoment der Kraft F4 gleich null, weil ihr Wirkabstand l4 gleich null ist. Die Vorzeichen in der Ansatzgleichung (þ und ) kennzeichnen den Drehsinn der Kraftmomente, sie haben also nichts mit dem Richtungssinn der Kräfte zu tun. Ergibt sich der Abstand l0 positiv – wie in diesem Fall –, dann ist die Wirklinie der Resultierenden richtig in den Lageplan eingezeichnet. Ist er negativ, liegt die Wirklinie im errechneten Abstand auf der anderen Seite des Bezugspunkts D. Beachte: Die Festlegung der WL von Fr ist willkürlich; sie hätte hier auch rechts vom Bezugspunkt D eingezeichnet werden können. þ Mr ¼þM1 þ M2 M3 M4 Frl0 ¼ F1l1 þ F2l2 F3l3 0 l0 ¼ F1l1 þ F2l2 F3l3 Fr 15 N 0,5 m þ 40 N 0,3 m 10 N 0,2 m l0 ¼ 65 N l0 ¼ 0,269 m Ergebnis: Die Resultierende wirkt mit 65 N in einem Abstand von 0,269 m links vom Bezugspunkt D rechtwinklig nach unten. Arbeitsplan zum Momentensatz: Lageskizze mit den gegebenen Kräften zeichnen. 1. Schritt Resultierende und gegebenenfalls ihren Neigungswinkel berechnen. 2. Schritt Resultierende in die Lageskizze einzeichnen (Lage der Wirklinie annehmen). 3. Schritt Momentensatz aufstellen und die Gleichung nach l0 auflösen. 4. Schritt
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1.2 Die Grundaufgaben der Statik 39<br />
Erst dann wird die Resultierende mit dem ermittelten<br />
Richtungssinn in die Lageskizze eingetragen,<br />
und zwar auf einer Wirklinie, deren Lage man<br />
unter Berücksichtigung der gegebenen Kräfte<br />
„nach Gefühl“ annimmt (hier zwischen den Wirklinien<br />
von F2 und F3).<br />
Die tatsächliche Lage der Resultierenden wird mit<br />
dem Momentensatz bestimmt. Der Bezugspunkt D<br />
ist auf der Wirklinie der Kraft F4 festgelegt. Dann<br />
wird das Kraftmoment der Kraft F4 gleich null,<br />
weil ihr Wirkabstand l4 gleich null ist.<br />
Die Vorzeichen in der Ansatzgleichung (þ und )<br />
kennzeichnen den Drehsinn der Kraftmomente,<br />
sie haben also nichts mit dem Richtungssinn der<br />
Kräfte zu tun.<br />
Ergibt sich der Abstand l0 positiv – wie in diesem<br />
Fall –, dann ist die Wirklinie der Resultierenden<br />
richtig in den Lageplan eingezeichnet. Ist er negativ,<br />
liegt die Wirklinie im errechneten Abstand auf<br />
der anderen Seite des Bezugspunkts D.<br />
Beachte: Die Festlegung der WL von Fr ist<br />
willkürlich; sie hätte hier auch rechts vom<br />
Bezugspunkt D eingezeichnet werden können.<br />
þ Mr ¼þM1 þ M2 M3 M4<br />
Frl0 ¼ F1l1 þ F2l2 F3l3 0<br />
l0 ¼ F1l1 þ F2l2 F3l3<br />
Fr<br />
15 N 0,5 m þ 40 N 0,3 m 10 N 0,2 m<br />
l0 ¼<br />
65 N<br />
l0 ¼ 0,269 m<br />
Ergebnis:<br />
Die Resultierende wirkt mit 65 N in einem<br />
Abstand von 0,269 m links vom Bezugspunkt<br />
D rechtwinklig nach unten.<br />
Arbeitsplan zum Momentensatz:<br />
Lageskizze mit den gegebenen Kräften zeichnen. 1. Schritt<br />
Resultierende und gegebenenfalls ihren Neigungswinkel berechnen. 2. Schritt<br />
Resultierende in die Lageskizze einzeichnen (Lage der Wirklinie annehmen). 3. Schritt<br />
Momentensatz aufstellen und die Gleichung nach l0 auflösen. 4. Schritt