Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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1.2.5 Die vier Grundaufgaben der Statik im allgemeinen ebenen Kräftesystem
1.2.5.1 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (fünfte Grundaufgabe),
der Momentensatz
Aufgabe: Für das in der Lageskizze dargestellte
Kräftesystem soll die Resultierende nach Betrag,
Lage und Richtungssinn rechnerisch ermittelt werden.
Die Wirklinien der Kräfte liegen parallel, weil
dieser Fall die größere praktische Bedeutung hat
und der Lösungsgang übersichtlicher wird.
Vorüberlegung: Betrag und Richtungswinkel der
Resultierenden werden auf dieselbe Weise berechnet
wie in der ersten Grundaufgabe. Damit erhält
man zugleich Klarheit über die Verschiebewirkung
des Kräftesystems.
Die Resultierende muss aber auch die gleiche
Drehwirkung wie das Kräftesystem haben. Davon
hängt ihre Lage ab. Diese Erkenntnis ist im
Momentensatz festgelegt:
Frx ¼ SFnx
Fr ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Frx 2 þ Fry 2
q
Fry ¼ SFny
b r ¼ arctan jFryj
jFrxj
Das Kraftmoment Mr der Resultierenden, bezogen
auf einen beliebigen Punkt D, ist gleich der
Summe der Kraftmomente der Einzelkräfte in
Bezug auf denselben Punkt. Mr ¼ M1 þ M2 þ M3 þ ...þ Mn
Lösung: In eine unmaßstäbliche Lageskizze werden
alle gegebenen Kräfte und alle bekannten Abstandsmaße
eingetragen. Für den Momentensatz
wird der Momentenbezugspunkt D festgelegt und
zwar zweckmäßig auf der Wirklinie einer gegebenen
Kraft, weil deren Kraftmoment dann null wird
und nicht in die Rechnung eingeht. Betrag und
Richtungssinn der Resultierenden Fr lassen sich
dann nach der Lageskizze berechnen.
Da hier alle Wirklinien parallel sind, braucht man
nur die algebraische Summe aller Kräfte zu ermitteln.
1 Statik in der Ebene
Frl0 ¼ F1l1 þ F2l2 þ F3l3 þ ...þ Fnln
Momentensatz
Beachte: Vorzeichen entsprechend dem Drehsinn
einsetzen (links þ, rechts )
Fr ¼ SFy ¼ F1 F2 þ F3 F4
Fr ¼ 15 N 40 N þ 10 N 20 N
Fr ¼ 65 N
Das Minuszeichen bedeutet hier:
Fr wirkt nach unten