Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

1.2 Die Grundaufgaben der Statik 37
c) Rechnerische Lösung nach der trigonometrischen Methode
Ergeben sich bei der Lösung von Statikaufgaben
Kraftecke in Dreiecksform, kann deren trigonometrische
Auswertung der einfachere Lösungsweg
sein. Bei rechtwinkligen Kraft-Dreiecken reichen
die Winkelfunktionen aus, bei schiefwinkligen
Kraft-Dreiecken, wie in der vorliegenden Aufgabe,
sind darüber hinaus der Sinussatz oder der Kosinussatz
erforderlich.
Wie bei jeder Lösung nach der trigonometrischen
Methode wird auch hier zuerst eine unmaßstäbliche
Krafteckskizze gezeichnet.
In diese werden alle Winkel sowie die Kräfte als
Seitenlängen des Dreiecks eingetragen.
Der noch fehlende Winkel d ergibt sich hier
aus der Bedingung, dass die Winkelsumme
b þ g þ d ¼ 180 betragen muss:
d ¼ 180 ðb þ gÞ ¼110 .
Da alle drei Winkel und eine Seite des Dreiecks
bekannt sind, können mit dem Sinussatz die beiden
noch fehlenden Seitenlängen berechnet werden.
Das sind hier die Kräfte F2 und F3.
Aus der Gleichung F3=sin g ¼ F1=sin d erhält
man die noch unbekannte Kraft F3.
Auf dem gleichen Weg erhält man aus
F2=sin b ¼ F1=sin d die noch fehlende Kraft F2.
Der Richtungssinn der Kräfte ergibt sich aus dem
Umfahrungssinn des Kraftecks („Einbahnverkehr“).
Aufgaben Nr. 49–71
Hinweis: Ûber die trigonometrische Auswertung
von Kraft-Dreiecken beliebiger Form
sollte eingehender im Fach Mathematik gesprochen
werden, wenn die erforderlichen trigonometrischen
Kenntnisse vorhanden sind.
F3 F2 F1
¼ ¼
sin g sin b sin d
F3 ¼ F1
F2 ¼ F1
sin g
sin 20
¼ 800 N
sin d sin 110
sin b
sin 50
¼ 800 N
sin d sin 110
Krafteckskizze
Sinussatz mit
den Bezeichnungen
aus der
Krafteckskizze
¼ 291,18 N
¼ 652,17 N