Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
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36 b) Rechnerische Lösung nach der analytischen Methode Die Lageskizze der freigemachten Walze mit den angreifenden Kräften F1, F2 und F3 wird gezeichnet, die zugehörigen Richtungswinkel a1, a2 und a3 werden berechnet und in die Skizze eingetragen. Nun werden die beiden rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen für das zentrale Kräftesystem mit den Kräften aus der Lageskizze angesetzt. Der Ansatz ergibt ein Gleichungssystem mit den beiden Unbekannten F2 und F3, das nach den Regeln der Gleichungslehre gelöst wird, hier z. B. mit dem Gleichsetzungsverfahren. F3 ¼ F1 cos a1 F2 cos a2 cos a3 ¼ F1 sin a1 F2 sin a2 sin a3 1. Schritt 2. Schritt I. SFx ¼ 0 ¼ F1 cos a1 þ F2 cos a2 þ F3 cos a3 II. SFy ¼ 0 ¼ F1 sin a1 þ F2 sin a2 þ F3 sin a3 F1 cos a1 sin a3 F2 cos a2 sin a3 ¼ F1 sin a1 cos a3 F2 sin a2 cos a3 F2 ðsin a2 cos a3 cos a2 sin a3Þ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} sin ða2 a3Þ F2 ¼ F1 ¼ F1 ð cos a1 sin a3 sin a1 cos a3Þ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} sin ða3 a1Þ sin ða3 a1Þ sin ð40 270 Þ ¼ 800 N ¼ 652,17 N sin ða2 a3Þ sin ð110 40 Þ F3 ¼ F1 cos a1 F2 cos a2 cos a3 Da beide Kräfte ein positives Ergebnis haben, war der angenommene Richtungssinn richtig. ¼ 800 N cos 270 652,17 N cos 110 cos 40 1 Statik in der Ebene 3. Schritt ¼ 291,18 N Die Kraft F2 wirkt nach links oben, die Kraft F3 nach rechts oben. 4. Schritt
1.2 Die Grundaufgaben der Statik 37 c) Rechnerische Lösung nach der trigonometrischen Methode Ergeben sich bei der Lösung von Statikaufgaben Kraftecke in Dreiecksform, kann deren trigonometrische Auswertung der einfachere Lösungsweg sein. Bei rechtwinkligen Kraft-Dreiecken reichen die Winkelfunktionen aus, bei schiefwinkligen Kraft-Dreiecken, wie in der vorliegenden Aufgabe, sind darüber hinaus der Sinussatz oder der Kosinussatz erforderlich. Wie bei jeder Lösung nach der trigonometrischen Methode wird auch hier zuerst eine unmaßstäbliche Krafteckskizze gezeichnet. In diese werden alle Winkel sowie die Kräfte als Seitenlängen des Dreiecks eingetragen. Der noch fehlende Winkel d ergibt sich hier aus der Bedingung, dass die Winkelsumme b þ g þ d ¼ 180 betragen muss: d ¼ 180 ðb þ gÞ ¼110 . Da alle drei Winkel und eine Seite des Dreiecks bekannt sind, können mit dem Sinussatz die beiden noch fehlenden Seitenlängen berechnet werden. Das sind hier die Kräfte F2 und F3. Aus der Gleichung F3=sin g ¼ F1=sin d erhält man die noch unbekannte Kraft F3. Auf dem gleichen Weg erhält man aus F2=sin b ¼ F1=sin d die noch fehlende Kraft F2. Der Richtungssinn der Kräfte ergibt sich aus dem Umfahrungssinn des Kraftecks („Einbahnverkehr“). Aufgaben Nr. 49–71 Hinweis: Ûber die trigonometrische Auswertung von Kraft-Dreiecken beliebiger Form sollte eingehender im Fach Mathematik gesprochen werden, wenn die erforderlichen trigonometrischen Kenntnisse vorhanden sind. F3 F2 F1 ¼ ¼ sin g sin b sin d F3 ¼ F1 F2 ¼ F1 sin g sin 20 ¼ 800 N sin d sin 110 sin b sin 50 ¼ 800 N sin d sin 110 Krafteckskizze Sinussatz mit den Bezeichnungen aus der Krafteckskizze ¼ 291,18 N ¼ 652,17 N
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b) Rechnerische Lösung nach der analytischen Methode<br />
Die Lageskizze der freigemachten Walze mit den<br />
angreifenden Kräften F1, F2 und F3 wird gezeichnet,<br />
die zugehörigen Richtungswinkel a1, a2 und<br />
a3 werden berechnet und in die Skizze eingetragen.<br />
Nun werden die beiden rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen<br />
für das zentrale Kräftesystem<br />
mit den Kräften aus der Lageskizze angesetzt.<br />
Der Ansatz ergibt ein Gleichungssystem mit den<br />
beiden Unbekannten F2 und F3, das nach den Regeln<br />
der Gleichungslehre gelöst wird, hier z. B.<br />
mit dem Gleichsetzungsverfahren.<br />
F3 ¼ F1 cos a1 F2 cos a2<br />
cos a3<br />
¼ F1 sin a1 F2 sin a2<br />
sin a3<br />
1. Schritt<br />
2. Schritt<br />
I. SFx ¼ 0 ¼ F1 cos a1 þ F2 cos a2 þ F3 cos a3<br />
II. SFy ¼ 0 ¼ F1 sin a1 þ F2 sin a2 þ F3 sin a3<br />
F1 cos a1 sin a3 F2 cos a2 sin a3 ¼ F1 sin a1 cos a3 F2 sin a2 cos a3<br />
F2 ðsin a2 cos a3 cos a2 sin a3Þ<br />
|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}<br />
sin ða2 a3Þ<br />
F2 ¼ F1<br />
¼ F1 ð cos a1 sin a3 sin a1 cos a3Þ<br />
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sin ða3 a1Þ<br />
sin ða3 a1Þ sin ð40 270 Þ<br />
¼ 800 N ¼ 652,17 N<br />
sin ða2 a3Þ sin ð110 40 Þ<br />
F3 ¼ F1 cos a1 F2 cos a2<br />
cos a3<br />
Da beide Kräfte ein positives Ergebnis haben, war<br />
der angenommene Richtungssinn richtig.<br />
¼<br />
800 N cos 270 652,17 N cos 110<br />
cos 40<br />
1 Statik in der Ebene<br />
3. Schritt<br />
¼ 291,18 N<br />
Die Kraft F2 wirkt nach links oben,<br />
die Kraft F3 nach rechts oben.<br />
4. Schritt