Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

1.2 Die Grundaufgaben der Statik 29
Die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen
sind:
Ein zentrales Kräftesystem ist im Gleichgewicht,
wenn
die Summe aller Kräfte in x-Richtung
und
die Summe aller Kräfte in y-Richtung gleich
null ist.
Setzt man die Summe aller Kräfte oder Kraftkomponenten
in beiden Richtungen des rechtwinkligen
Koordinatensystems gleich null, erhält man ein
Gleichungssystem (I und II), das nach den beiden
Unbekannten F 4 und F 5 aufgelöst werden kann.
Der Betrag für F 5 hat ein negatives Vorzeichen,
das heißt, der angenommene Richtungssinn war
falsch. Der errechnete Betrag ist richtig, nur wirkt
die Kraft im entgegengesetzten Sinn als angenommen.
(Pfeilrichtung im Lageplan umkehren)
Hat die zuerst errechnete Kraft ein Minus-Vorzeichen
(hier F 5), muss es in der weiteren Rechnung
mitgeführt werden.
Um Gleichgewicht zu erreichen, muss auf den vorgegebenen
Wirklinien die Kraft F4 mit 16,76 N
nach rechts oben, die Kraft F 5 mit 12,21 N nach
links unten wirken.
I. SFx ¼ 0 ¼ SFnx þ F4 cos a4 þ F5 cos a5
II. SFy ¼ 0 ¼ SFny þ F4 sin a4 þ F5 sin a5
Beide Gleichungen nach F4 aufgelöst und
gleichgesetzt ergibt eine Gleichung für F5:
I. F4 ¼ SFnx F5 cos a5
cos a4
II. F4 ¼ SFny F5 sin a5
sin a4
SFnx sin a4 F5 cos a5 sin a4 ¼
¼ SFny cos a4 F5 sin a5 cos a4
F5ðcos a5 sin a4 sin a5 cos a4Þ ¼
¼ SFny cos a4 SFnx sin a4
F5 ¼ SFny cos a4 SFnx sin a4
cos a5 sin a4 sin a5 cos a4
(SFny ¼ 6,24 N von Seite 25)
6,24 N cos 15 ð 10,08 NÞ sin 15
F5 ¼
cos 60 sin 15 sin 60 cos 15
F5 ¼ 12,21 N
Mit F5 kann nun F4 nach Gleichung I bestimmt
werden (Minus-Vorzeichen mitnehmen):
F4 ¼ SFnx F5 cos a5
cos a4
(SFnx ¼ 10,08 N von Seite 25)
F4 ¼
ð 10,08 NÞ ð 12,21 NÞ cos 60
cos 15
F4 ¼ 16,76 N
Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung unbekannter Kräfte:
Lageskizze mit allen gegebenen und gesuchten Kräften zeichnen, dabei den 1. Schritt
Richtungssinn der gesuchten Kräfte nach der Richtungsregel annehmen.
Gleichgewichtsbedingungen ansetzen (SFx ¼ 0, SFy ¼ 0). 2. Schritt
Gleichungssystem auflösen und unbekannte Kräfte berechnen. 3. Schritt
Bei negativem Betrag für eine berechnete Kraft zum Schluss den angenommenen
Richtungssinn umkehren.
4. Schritt