Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
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28 Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung der Resultierenden: Lageplan mit den Wirklinien aller Kräfte winkelgetreu in ein rechtwinkliges 1. Schritt Achsenkreuz einzeichnen. Im Kräfteplan die gegebenen Kräfte entsprechend dem gewählten Kräfte- 2. Schritt maßstab MK in beliebiger Reihenfolge maßstäblich aneinander reihen. Anfangs- und Endpunkt des Kräftezuges verbinden, Richtungssinn eintra- 3. Schritt gen. Resultierende Fr in den Zentralpunkt des Lageplans übertragen. 4. Schritt Ergebnisse abmessen (Betrag und Richtungswinkel). 5. Schritt 1.2.4.3 Rechnerische Ermittlung unbekannter Kräfte (dritte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen Aufgabe: Dasselbe Kräftesystem wie in der ersten und zweiten Grundaufgabe mit den bekannten Kräften F1, F2 und F3 soll jetzt durch zwei Kräfte (F4 und F5) ins Gleichgewicht gesetzt werden. Die Kräfte F4 und F5 sind nach der analytischen Methode zu ermitteln. Lösung: Man zeichnet eine unmaßstäbliche Lageskizze mit allen Kräften. Für die Kräfte F 4 und F 5 ist nur die Lage ihrer Wirklinien im rechtwinkligen Achsenkreuz (a4 ¼ 15 , a5 ¼ 60 ) bekannt. Für den Richtungssinn der beiden Kräfte F 4 und F 5 wird folgende Richtungsannahme festgelegt (Richtungsregel): Der Richtungssinn einer gesuchten Kraft wird beliebig festgelegt. Ob die Richtungsannahme richtig oder falsch war, stellt sich bei der späteren Rechnung heraus: Haben die gesuchten Kräfte ein positives Vorzeichen, war die Richtungsannahme richtig. Das negative Vorzeichen zeigt, dass die Richtungsannahme falsch war. Diese Kraft wirkt in Wirklichkeit in entgegengesetzter Richtung. Aufgabenskizze 1 Statik in der Ebene Lageskizze zur rechnerischen Lösung (angenommener Richtungssinn für F4 und F5 im I. Quadrant)
1.2 Die Grundaufgaben der Statik 29 Die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen sind: Ein zentrales Kräftesystem ist im Gleichgewicht, wenn die Summe aller Kräfte in x-Richtung und die Summe aller Kräfte in y-Richtung gleich null ist. Setzt man die Summe aller Kräfte oder Kraftkomponenten in beiden Richtungen des rechtwinkligen Koordinatensystems gleich null, erhält man ein Gleichungssystem (I und II), das nach den beiden Unbekannten F 4 und F 5 aufgelöst werden kann. Der Betrag für F 5 hat ein negatives Vorzeichen, das heißt, der angenommene Richtungssinn war falsch. Der errechnete Betrag ist richtig, nur wirkt die Kraft im entgegengesetzten Sinn als angenommen. (Pfeilrichtung im Lageplan umkehren) Hat die zuerst errechnete Kraft ein Minus-Vorzeichen (hier F 5), muss es in der weiteren Rechnung mitgeführt werden. Um Gleichgewicht zu erreichen, muss auf den vorgegebenen Wirklinien die Kraft F4 mit 16,76 N nach rechts oben, die Kraft F 5 mit 12,21 N nach links unten wirken. I. SFx ¼ 0 ¼ SFnx þ F4 cos a4 þ F5 cos a5 II. SFy ¼ 0 ¼ SFny þ F4 sin a4 þ F5 sin a5 Beide Gleichungen nach F4 aufgelöst und gleichgesetzt ergibt eine Gleichung für F5: I. F4 ¼ SFnx F5 cos a5 cos a4 II. F4 ¼ SFny F5 sin a5 sin a4 SFnx sin a4 F5 cos a5 sin a4 ¼ ¼ SFny cos a4 F5 sin a5 cos a4 F5ðcos a5 sin a4 sin a5 cos a4Þ ¼ ¼ SFny cos a4 SFnx sin a4 F5 ¼ SFny cos a4 SFnx sin a4 cos a5 sin a4 sin a5 cos a4 (SFny ¼ 6,24 N von Seite 25) 6,24 N cos 15 ð 10,08 NÞ sin 15 F5 ¼ cos 60 sin 15 sin 60 cos 15 F5 ¼ 12,21 N Mit F5 kann nun F4 nach Gleichung I bestimmt werden (Minus-Vorzeichen mitnehmen): F4 ¼ SFnx F5 cos a5 cos a4 (SFnx ¼ 10,08 N von Seite 25) F4 ¼ ð 10,08 NÞ ð 12,21 NÞ cos 60 cos 15 F4 ¼ 16,76 N Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung unbekannter Kräfte: Lageskizze mit allen gegebenen und gesuchten Kräften zeichnen, dabei den 1. Schritt Richtungssinn der gesuchten Kräfte nach der Richtungsregel annehmen. Gleichgewichtsbedingungen ansetzen (SFx ¼ 0, SFy ¼ 0). 2. Schritt Gleichungssystem auflösen und unbekannte Kräfte berechnen. 3. Schritt Bei negativem Betrag für eine berechnete Kraft zum Schluss den angenommenen Richtungssinn umkehren. 4. Schritt
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Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung der Resultierenden:<br />
Lageplan mit den Wirklinien aller Kräfte winkelgetreu in ein rechtwinkliges 1. Schritt<br />
Achsenkreuz einzeichnen.<br />
Im Kräfteplan die gegebenen Kräfte entsprechend dem gewählten Kräfte- 2. Schritt<br />
maßstab MK in beliebiger Reihenfolge maßstäblich aneinander reihen.<br />
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gen.<br />
Resultierende Fr in den Zentralpunkt des Lageplans übertragen. 4. Schritt<br />
Ergebnisse abmessen (Betrag und Richtungswinkel). 5. Schritt<br />
1.2.4.3 Rechnerische Ermittlung unbekannter Kräfte (dritte Grundaufgabe),<br />
die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen<br />
Aufgabe: Dasselbe Kräftesystem wie in der ersten<br />
und zweiten Grundaufgabe mit den bekannten<br />
Kräften F1, F2 und F3 soll jetzt durch zwei Kräfte<br />
(F4 und F5) ins Gleichgewicht gesetzt werden. Die<br />
Kräfte F4 und F5 sind nach der analytischen<br />
Methode zu ermitteln.<br />
Lösung: Man zeichnet eine unmaßstäbliche Lageskizze<br />
mit allen Kräften. Für die Kräfte F 4 und F 5<br />
ist nur die Lage ihrer Wirklinien im rechtwinkligen<br />
Achsenkreuz (a4 ¼ 15 , a5 ¼ 60 ) bekannt. Für<br />
den Richtungssinn der beiden Kräfte F 4 und F 5<br />
wird folgende Richtungsannahme festgelegt (Richtungsregel):<br />
Der Richtungssinn einer gesuchten Kraft wird<br />
beliebig festgelegt.<br />
Ob die Richtungsannahme richtig oder falsch war,<br />
stellt sich bei der späteren Rechnung heraus:<br />
Haben die gesuchten Kräfte ein positives Vorzeichen,<br />
war die Richtungsannahme richtig. Das<br />
negative Vorzeichen zeigt, dass die Richtungsannahme<br />
falsch war. Diese Kraft wirkt in Wirklichkeit<br />
in entgegengesetzter Richtung.<br />
Aufgabenskizze<br />
1 Statik in der Ebene<br />
Lageskizze zur rechnerischen Lösung<br />
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F4 und F5 im I. Quadrant)
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