Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
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26 Die x-Komponente F rx der Resultierenden hat das negative Vorzeichen, die y-Komponente F ry hat das positive Vorzeichen. Die Resultierende Fr liegt also im II. Quadranten. Damit liegt die Gleichung zur Berechnung des Richtungswinkels ar der Resultierenden fest. ar ¼ 180 arctan jFryj jFrxj ar ¼ 180 6,24 N arctan 10,08 N ar ¼ 180 31,76 ar ¼ 148,24 Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung der Resultierenden: Lageskizze mit allen gegebenen Kräften unmaßstäblich in ein rechtwinkliges Koordinatensystem eintragen. Gegebene Kraftbeträge F1; F2; F3 ...und Richtungswinkel a1; a2; a3 ...aufschreiben. Richtungswinkel von der positiven x-Achse von 0 Linksdrehsinn festlegen. bis 360 im Mit den Kraftbeträgen und Richtungswinkeln die Komponenten Frx und Fry der Resultierenden Fr berechnen. Betrag der Resultierenden Fr aus den Komponenten Frx und Fry berechnen (Pythagoras). Aus den Vorzeichen für die Komponenten F rx und F ry den Quadranten für die Resultierende F r feststellen. 1.2.4.2 Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (zweite Grundaufgabe) Aufgabe: Das gleiche zentrale Kräftesystem wie in der vorhergehenden Aufgabe soll nun zeichnerisch reduziert werden. Zur Ermittlung der Resultierenden F r und ihres Richtungswinkels ar muss maßstäblich in einem Lageplan und in einem Kräfteplan gearbeitet werden. Die Aufgabenskizze zeigt die gegebenen Kräfte, nachdem sie auf ihren Wirklinien in den gemeinsamen Zentralpunkt A verschoben wurden. 1 Statik in der Ebene 1. Schritt 2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt Richtungswinkel ar der Resultierenden F r berechnen. 6. Schritt Aufgabenskizze
1.2 Die Grundaufgaben der Statik 27 Lösung: Zuerst wird ein Lageplan gezeichnet. Grundlage dafür ist ein rechtwinkliges Achsenkreuz, dessen Schnittpunkt der Zentralpunkt A des Kräftesystems ist. Durch diesen Zentralpunkt werden mit den gegebenen Richtungswinkeln a1 ¼ 30 , a2 ¼ 135 und a3 ¼ 280 die Wirklinien aller gegebenen Kräfte gelegt. Je genauer im Lageplan die Winkel angetragen sind, desto genauer wird das Ergebnis. Für den Kräfteplan wird ein Anfangspunkt A festgelegt und durch ihn eine Parallele zu einer der drei Kräfte (hier F 3) gezeichnet. Der Kräfteplan wird weiterentwickelt, indem in gleicher Weise durch Parallelverschiebung die übrigen Kräfte in beliebiger Reihenfolge maßstabsgerecht und richtungsgemäß sich so aneinander reihen, dass sich ein fortlaufender, offener Kräftezug mit dem Endpunkt E ergibt. Die Resultierende F r ist die Verbindungslinie zwischen Anfangspunkt A und Endpunkt E des Kräftezugs. Ihr Richtungssinn weist vom Anfangspunkt zum Endpunkt. Aus der Länge der Verbindungslinie von A nach E kann mit Hilfe des festgelegten Kräftemaßstabs der Betrag der Resultierenden berechnet werden. Die Resultierende wird nun aus dem Kräfteplan parallel in den Zentralpunkt A des Lageplans verschoben und der Richtungswinkel ar abgelesen. Jetzt steht fest, wie sich der Körper unter der Einwirkung der gegebenen Kräfte verhält, d. h. ob und in welcher Richtung er sich verschiebt. Zugleich erkennt man, welche zusätzliche Kraft (hier F4) im Zentralpunkt A wirken müsste, wenn Gleichgewicht hergestellt werden soll. Aufgaben Nr. 29–48 Lageplan Gemessen wird für Fr: Lr ¼ 1,2 cm Damit wird Fr ¼ L rMK ¼ 1,2 cm 10 N cm Fr ¼ 12 N. Kräfteplan Kräftemaßstab: MK ¼ 10 N cm ð1 cm¼b 10 NÞ Im Lageplan wird der Richtungswinkel gemessen: ar ¼ 148 . Ergebnis: Die Resultierende wirkt mit 12 N unter einem Winkel von 148 zur positiven x-Achse nach links oben. Unter der Wirkung der Kräfte F1, F2 und F3 verschiebt sich der Körper unter 148 zur positiven x-Achse so nach links oben, als ob eine Kraft von 12 N allein auf ihn einwirken würde. Um den Körper im Gleichgewicht zu halten, müsste man auf der Wirklinie von Fr mit 12 N nach rechts unten ziehen (im Lageplan gestrichelt eingezeichnete Gleichgewichtskraft F4).
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Die x-Komponente F rx der Resultierenden hat das<br />
negative Vorzeichen, die y-Komponente F ry hat<br />
das positive Vorzeichen. Die Resultierende Fr liegt<br />
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zur Berechnung des Richtungswinkels ar der<br />
Resultierenden fest.<br />
ar ¼ 180 arctan jFryj<br />
jFrxj<br />
ar ¼ 180<br />
6,24 N<br />
arctan<br />
10,08 N<br />
ar ¼ 180 31,76<br />
ar ¼ 148,24<br />
Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung der Resultierenden:<br />
Lageskizze mit allen gegebenen Kräften unmaßstäblich in ein rechtwinkliges<br />
Koordinatensystem eintragen.<br />
Gegebene Kraftbeträge F1; F2; F3 ...und Richtungswinkel a1; a2; a3 ...aufschreiben.<br />
Richtungswinkel von der positiven x-Achse von 0<br />
Linksdrehsinn festlegen.<br />
bis 360 im<br />
Mit den Kraftbeträgen und Richtungswinkeln die Komponenten Frx und Fry<br />
der Resultierenden Fr berechnen.<br />
Betrag der Resultierenden Fr aus den Komponenten Frx und Fry berechnen<br />
(Pythagoras).<br />
Aus den Vorzeichen für die Komponenten F rx und F ry den Quadranten für<br />
die Resultierende F r feststellen.<br />
1.2.4.2 Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (zweite Grundaufgabe)<br />
Aufgabe: Das gleiche zentrale Kräftesystem wie<br />
in der vorhergehenden Aufgabe soll nun zeichnerisch<br />
reduziert werden. Zur Ermittlung der Resultierenden<br />
F r und ihres Richtungswinkels ar muss<br />
maßstäblich in einem Lageplan und in einem Kräfteplan<br />
gearbeitet werden.<br />
Die Aufgabenskizze zeigt die gegebenen Kräfte,<br />
nachdem sie auf ihren Wirklinien in den gemeinsamen<br />
Zentralpunkt A verschoben wurden.<br />
1 Statik in der Ebene<br />
1. Schritt<br />
2. Schritt<br />
3. Schritt<br />
4. Schritt<br />
5. Schritt<br />
Richtungswinkel ar der Resultierenden F r berechnen. 6. Schritt<br />
Aufgabenskizze