Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

1.2 Die Grundaufgaben der Statik 23
mit der positiven x-Achse einschließt, und zwar im
positiven Linksdrehsinn von 0 bis þ360 (Richtungswinkel).
Man erhält dann Berechnungsgleichungen,
die immer wieder in derselben Form gebraucht
werden können.
Den Richtungssinn der Kraftkomponenten F x und
F y zeigt der Rechner durch das Vorzeichen im
Ergebnis an. Das negative Vorzeichen für eine
x-Komponente zeigt den Richtungssinn „nach
links“, für eine y-Komponente „nach unten“ an.
Die Gleichungen zur Berechnung der rechtwinklig
aufeinander stehenden Komponenten werden in
der allgemeinen Form geschrieben. Der Buchstabe
n steht für den Index 1, 2, 3, ... der Kräfte F und
ihrer Richtungswinkel a.
Die x-Komponenten F nx sind die Produkte aus den
Kraftbeträgen F n und dem Kosinus der Richtungswinkel
an. Bei den y-Komponenten tritt an die
Stelle der Kosinusfunktion die Sinusfunktion.
Die Summe der x-Komponenten der Einzelkräfte
ist die x-Komponente F rx der gesuchten Resultierenden
(Frx ¼ SFnx). Gleiches gilt für die y-Komponente
F ry der Resultierenden (Fry ¼ SFny).
Wird immer der Richtungswinkel eingesetzt, zum
Beispiel a2 ¼ 135 , braucht man sich nicht um
den Richtungssinn der Komponenten zu kümmern.
Der Rechner nimmt das jeweilige Vorzeichen bei
der Addition mit.
Weil die beiden Komponenten F rx und F ry rechtwinklig
aufeinander stehen, kann mit dem Lehrsatz
des Pythagoras der Betrag F r der Resultierenden
berechnet werden, denn F r ist die Diagonale
des rechtwinkligen Kraftecks aus F rx, F ry und F r.
Die Komponenten einer unter dem Richtungswinkel
a geneigten Kraft sind:
Fx ¼ F cos a Fy ¼ F sin a
Beispiel: Nach der Aufgabenskizze schließt
die Kraft F 2 ¼ 40 N mit der positiven x-Achse
den Richtungswinkel a2 ¼ 135 ein. Dazu
liefert der Rechner:
F2x ¼ F2 cos a2 ¼ 40 N cos 135 ¼ 28,28 N
F2y ¼ F2 sin a2 ¼ 40 N sin 135 ¼þ28,28 N
Die Kraftkomponente F2x wirkt nach links,
F2y wirkt nach oben.
Fnx ¼ Fn cos an
Berechnung der x-Komponenten
Fny ¼ Fn sin an
Berechnung der y-Komponenten
Frx ¼ SFnx
Frx ¼ F1 cos a1 þF2 cos a2 þ...þFn cos an
x-Komponente der Resultierenden F r
Fry ¼ SFny
Fry ¼ F1 sin a1 þF2 sin a2 þ...þFn sin an
y-Komponente der Resultierenden Fr
Fr ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Frx 2 þ Fry 2
q
Betrag der Resultierenden Fr