Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

6.2 Dynamik der Fluide (Strömungsmechanik) 409
Soll ein Gefäß aber ganz oder teilweise entleert
werden, dann muss man den absinkenden Fluidspiegel
berücksichtigen. Mit sinkendem Fluidspiegel
nimmt die Ausflussgeschwindigkeit w und
natürlich auch der Volumenstrom qVe ab.
Die Ausflussgeschwindigkeit folgt dem Gesetz
des freien Falls: w ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffi p
2gh.
Weil hier die Höhe
aber nicht zu- sondern abnimmt, handelt es sich
um einen gleichmäßig verzögerten Geschwindigkeitsverlauf.
Man rechnt deshalb in diesem Fall mit der mittleren
Ausflussgeschwindigkeit wm und erhält daraus
den mittleren Volumenstrom qVem. Das wirklich
ausfließende Volumen Ve ist das Produkt aus
dem mittleren Volumenstrom qVem und der Ausflusszeit
t: Ve ¼ qVem t. Aus dieser Beziehung
kann schließlich auch die Ausflusszeit t ¼ Ve=qVem
ermittelt werden.
Soll das Gefäß völlig entleert werden, verringert
sich die Ausflussgeschwindigkeit vom Anfangswert
w1 bis auf w2 ¼ 0, weil die Höhe h2 am Ende
der Entleerung gleich null ist. Damit vereinfachen
sich die Gleichungen durch den Fortfall des letzten
Zähler- oder Nennerglieds.
Ûbung: Ein zylindrischer Wasserbehälter von 8 m
Durchmesser hat in seinem Boden eine Ausflussöffnung
von 400 mm Durchmesser. Das Wasser
steht im Behälter 6 m hoch. Die Ausflusszahl beträgt
0,65.
In welcher Zeit fließen 120 m 3 Wasser aus?
Lösung: Da nicht bekannt ist, ob der Behälter
nach der Entnahme von 120 m 3 Wasser teilweise
oder völlig entleert ist, wird zunächst die Wasserspiegelhöhe
h2 nach der Entnahme bestimmt.
Dann berechnet man die Ausflusszeit mit der Gleichung
für teilweise Entleerung.
Aufgaben Nr. 1028–1035
Bei teilweiser Entleerung sind die Ausflussgeschwindigkeiten
w1 ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
2gh1 und w2 ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
2gh2
wm ¼ w1 þ w2
2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2gh1 þ
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
2gh2
2
mittlere theoretische Ausflussgeschwindigkeit
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2gh1 þ
qVem ¼ mA
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
2gh2
2
mittlerer wirklicher Volumenstrom
t ¼ Ve
2Ve
¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
qVem mA ð 2gh1 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
2gh2Þ
wirkliche Ausflusszeit
wm ¼
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2gh1
2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2gh1
qVem ¼ mA
2
mittlere theoretische
Ausflussgeschwindigkeit
bei völliger Entleerung
mittlerer
wirklicher
Volumenstrom
2Ve
t ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wirkliche Ausflusszeit
mA 2gh1
Gegeben:
Behälterdurchmesser d ¼ 8mm
Úffnungsdurchmesser d1 ¼ 0,4 m
Wasserspiegelhöhe h1 ¼ 6m
Ausflusszahl m ¼ 0,65
wirkliches Ausflussvolumen Ve¼ 120 m 3
Gesucht: Ausflusszeit t
Ve ¼ p
4 d 2 ðh1 h2Þ
h2 ¼ h1
4Ve 4 120 m3
¼ 6m ¼ 3,61 m
pd 2 2
p ð8mÞ
Der Behälter wird nur teilweise entleert.
2Ve
t ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
mA ð 2gh1 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ¼ 152,5 s
2gh2Þ