Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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6.2.3.2 Ausfluss aus einem Gefäß
Angenommen, die Fluidspiegelfläche B eines Gefäßes
sei groß gegenüber der Ausflussöffnung A.
Dann sinken die Fluidteilchen bei B sehr langsam
ab, und man kann das Quadrat ihrer Geschwindigkeit
gegen das der Geschwindigkeit bei A vernachlässigen.
Da das Gefäß bei A und B offen ist, ist
der statische Druck an beiden Stellen gleich dem
Atmosphärendruck p0 ¼ pA ¼ pB.
Die Ausflussgeschwindigkeit wird mit der Bernoulli’schen
Druckhöhengleichung ermittelt. Die
Entwicklung führt zu der Gleichung für die theoretische
Ausflussgeschwindigkeit wA ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffi p
2gh.
Ein Vergleich mit den Gleichungen für den freien
Fall in Tabelle 4.1, Seite 154, zeigt die Ûbereinstimmung
mit der Gleichung vt ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
2g Ds (mit Ds ¼ hÞ
für die Endgeschwindigkeit vt eines Körpers nach
dem freien Fall um die Fallhöhe h. Die theoretische
Ausflussgeschwindigkeit wA ist demnach ebenso
groß wie die Endgeschwindigkeit vt eines um die
Höheh frei fallenden Flüssigkeitteilchens.
Die Höhe h, die dem Fluid die Geschwindigkeit w
erteilt, nennt man die Geschwindigkeitshöhe.
Nach der gleichen Ûberlegung, die zur Kontinuitätsgleichung
führte, strömt aus einer Úffnung mit
dem Querschnitt A in jeder Sekunde der Volumenstrom
qV ¼ Aw aus.
Der wirkliche Volumenstrom ist kleiner als der
theoretische, weil die Ausflussgeschwindigkeit we
infolge der inneren Reibung und der Reibung an
den Gefäßwänden nicht ganz den theoretischen
Wert w ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffi p
2gh erreicht. Dieser Einfluss wird
durch die Geschwindigkeitszahl j < 1 berücksichtigt.
Von noch größerem Einfluss auf die Verringerung
des Volumenstroms ist die Einschnürung (so genannte
Kontraktion) des Fluidstrahls: Die Stromfäden
im Inneren des Gefäßes laufen radial auf die
Úffnung zu und können nicht plötzlich in Strahlrichtung
umlenken. Der wirkliche Strahlquerschnitt
ist dann nicht A sondern aA. a ist die Kontraktionszahl;
sie ist immer kleiner als eins. Das
Produkt aj heißt Ausflusszahl m.
Bernoulli’sche Druckhöhengleichung:
p0
rg 2
wB p0
þ hB þ ¼
2g rg þ hA
2
wA
þ
2g
Die statische Druckhöhe p0=rg fällt auf beiden
Seiten heraus, die Geschwindigkeitshöhe
wB 2 =2g kann vernachlässigt werden und es
bleibt:
wA 2
2g ¼ hB hA ¼ h
w ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffi p theoretische Ausfluss-
2gh geschwindigkeit
h ¼ w2
2g
Geschwindigkeitshöhe
pffiffiffiffiffiffiffiffi theoretischer
qV ¼ Aw ¼ A 2gh Volumenstrom
we ¼ jw ¼ j ffiffiffiffiffiffiffiffi p
2gh
wirkliche Ausflussgeschwindigkeit
j ist abhängig von der Zähigkeit des Fluids
und beträgt für Wasser 0,97 ...0,99.
Strahlkontraktion
6 Fluidmechanik (Hydraulik)