Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

6.2 Dynamik der Fluide (Strömungsmechanik) 403
An einer beliebigen Stelle, z. B. bei A, wird dem
Fluid über einen Kolben durch die Kraft F1 längs
des Weges s1 die Arbeit W1 ¼ F1s1 zugeführt. Bei
E wird gegen die Kraft F2 die Arbeit W2 ¼ F2s2
abgeführt.
Nach dem Energieerhaltungssatz (siehe 4.7.5, Seite
221) ist die Energie EE am Ende dieses Vorganges
gleich der Energie EA am Anfang, vermehrt um
die zugeführte Arbeit Wzu und vermindert um die
abgeführte Arbeit Wab:
Wird in den Quotienten für die kinetische Energie
für die Masse m das Produkt Volumen V multipliziert
mit der Dichte r eingesetzt, dann erhält man
den Energieerhaltungssatz in einer neuen Form.
Auch die AusdrückeF1s1 und F2s2 können weiterentwickelt
werden, indem man für die Kräfte
F ¼ pAund fürAsdas Volumen V setzt.
Der Energieerhaltungssatz erhält dann eine Form,
in der die Quotienten rw2V=2 die kinetische
Energie des Fluids und die Produkte pV seine
Druckenergie darstellen.
Dividiert man den Energieerhaltungssatz noch
durch das Volumen V, dann erhält man die
Bernoulli’sche Druckgleichung für horizontal strömende
Fluide.
Die einzelnen Glieder der Bernoulligleichung sind
also nichts anderes, als die Energien je Volumeneinheit.
Aus der Druckgleichung erkennt man:
Bei horizontaler Strömung ist die Summe aus
dem statischen Druck p und dem kinetischen
Druck q ¼ rw 2 =2 konstant.
6.2.2.2 Nichthorizontale Strömung (Strömung mit Höhenunterschied)
Der einzige Unterschied gegenüber der horizontalen
Strömung besteht darin, dass die Fluidteilchen
im Verlauf der Strömung ihre Höhenlage gegenüber
einer beliebig gewählten horizontalen Bezugsebene
ändern. Dadurch erhalten sie verschieden
große potenzielle Energie (Lageenergie).
W1 ¼ F1 s1
W2 ¼ F2 s2
zugeführte Arbeit abgeführte Arbeit
EE ¼ EA þ Wzu Wab
Ekin 2 ¼ Ekin 1 þ W1 W2
mw2 2
2
mw1 2
2
¼ mw1 2
2 þ F1 s1 F2 s2
¼ rw1 2
2
V
F1 s1 ¼ p1 A1 s1 ¼ p1V
F2 s2 ¼ p2 A2 s2 ¼ p2V
mw2 2
2
¼ rw2 2
2
r
2 w2 2 V ¼ r
2 w1 2 V þ p1V p2V
Energieerhaltungssatz für horizontale
Strömung
p1 þ r
2 w1 2 ¼ p2 þ r 2
w2
2
Bernoulli’sche Druckgleichung für
horizontale Strömung
p r w V
Pa ¼ N
m 2
kg
m 3
m
s m3
Beachte: Der kinetische Druck q ¼ rw 2 =2
wird auch Geschwindigkeitsdruck oder
Staudruck genannt.
V