Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

6.1 Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik) 399
Ist die Auftriebskraft kleiner als die Gewichtskraft
des Körpers, so sinkt er. Ist die Auftriebskraft
gleich der Gewichtskraft, so bleibt der Körper an
jeder beliebigen Stelle innerhalb der Flüssigkeit, er
schwebt. Ist die Auftriebskraft größer als die
Gewichtskraft, schwimmt der Körper an der Oberfläche.
Er ist im Gleichgewicht, wenn er so weit
auftaucht, dass die Auftriebskraft (¼ Gewichtskraft
der verdrängten Flüssigkeit) gleich der Gewichtskraft
des schwimmenden Körpers ist. Dann
ist auch die Masse der verdrängten Flüssigkeit
gleich der Masse des Körpers.
6.1.11 Gleichgewichtslagen schwimmender Körper
Man unterscheidet bei schwimmenden Körpern
stabile und labile Gleichgewichtslagen.
Das Bild zeigt den Fall einer stabilen Schwimmlage.
Zwei Kräfte wirken auf den schwimmenden
Körper: Die im Körperschwerpunkt K angreifende,
nach unten gerichtete Schwerkraft FG (Gewichtskraft)
und die im Verdrängungsschwerpunkt F angreifende
Auftriebskraft Fa. In der Gleichgewichtslage
wirken die beiden gleich großen Kräfte Fa und
FG längs der gemeinsamen Wirklinie W – der Körpermittellinie
– in entgegengesetzter Richtung.
Dreht man nun den Körper in der Zeichenebene
nach links (Schräglage), so wird die vorher vertikale
Mittellinie W um den Winkel j geneigt.
Dabei bleibt zwar die Lage des Körperschwerpunkts
K erhalten, jedoch bringt jede Neigungsänderung
den Verdrängungsschwerpunkt F an eine
andere Stelle. Das heißt aber auch: Die Parallelkräfte
Fa und FG bekommen einen mehr oder
weniger großen Wirkabstand h, sie bilden ein
rechtsdrehendes Kräftepaar.
Das Drehmoment von Auftriebskraft Fa und Gewichtskraft
FG wirkt der Drehung des Körpers entgegen:
Der Körper hat also eine stabile Schwimmlage.
Das Wiederaufrichtungsmoment – die Stabilität –
hängt vom Wirkabstand h ab. Er heißt deshalb
auch: Hebelarm der statischen Stabilität.
Lösung:
Die Masse des Würfels ist
m1 ¼ V1r1 ¼ a 3 r1 ¼ 10 3 m 3 3 kg
7,5 10
m3 m1 ¼ 7,5 kg
Bei Schwimmen ist die Masse m2 des verdrängten
Quecksilbers gleich der Masse m1
des Würfels. Das verdrängte Quecksilbervolumen
hat die Form eines quadratischen
Prismas mit der Höheh: V2 ¼ a2h: Folglich ist:
m2 ¼ V2 r 2 ¼ a 2 hr 2 ¼ m1
h ¼ m1
a 2 r 2
7,5 kg
¼
10 2 m2 3 kg
13,6 10
m3 ¼ 5,51 cm
Stabile Schwimmlage
Fa Auftriebskraft, in F angreifend
FG Gewichtskraft, in K angreifend
W Mittellinie des Körpers
(Schwimmachse)
F Verdrängungsschwerpunkt ¼ Schwerpunkt
der verdrängten Flüssigkeit
K Schwerpunkt des Körpers
M Metazentrum ¼ Schnittpunkt der
Mittellinie W mit der Wirklinie der
Auftriebskraft
h ¼ MK sin j Hebelarm der statischen
Stabilität
j Neigungswinkel
MK metazentrische Höhe