Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
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398 Auftriebskraft und Gewichtskraft des eingetauchten Körpers sind entgegengerichtete Kräfte. Daraus folgt: Die Gewichtskraft eines in eine Flüssigkeit eingetauchten Körpers verringert sich (scheinbar) um die Gewichtskraft der von ihm verdrängten Flüssigkeitsmenge. Ûbung: Ein Körper mit der Masse mk ¼ 250 g hängt ganz in Wasser eingetaucht an einer Waage. Die Waage ist im Gleichgewicht, wenn sie mit einem Wägestück von 200 g Masse belastet ist. Wie groß sind Volumen V und Dichte r k des Körpers? Lösung: Die Auftriebskraft Fa am Körper ist die Differenz der Gewichtskräfte des Körpers FGk und des Wägestücks FG. In die Auftriebsgleichung setzt man für die Kräfte die Produkte aus Masse und Fallbeschleunigung ein und erkennt, dass die Masse mw des verdrängten Wassers gleich der Differenz zwischen Körpermasse mk und Wägestückmasse m ist. Aus der Beziehung mw ¼ Vr w wird das Verdrängungsvolumen V bestimmt, das gleich dem Körpervolumen V sein muss. Die Körpermasse mk ist das Produkt aus dem Volumen V und der Körperdichte r k . Aus dieser Beziehung kann die Dichte r k des eingetauchten Körpers bestimmt werden. Aufgaben Nr. 1013–1024 6.1.10 Schwimmen Wirken nur die Gewichtskraft FG und die Auftriebskraft Fa auf einen Körper, so richtet sich sein Verhalten in einer Flüssigkeit danach, wie groß die Auftriebskraft ist. Schwimmender Körper: Verdrängungsschwerpunkt F liegt unter dem Körperschwerpunkt K. Beachte: Die Auftriebskraft ist nach oben gerichtet und gleich der Gewichtskraft der vom Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge. Sie greift im Formschwerpunkt F (Verdrängungsschwerpunkt) der verdrängten Flüssigkeitsmenge an. Gegeben: Masse des Körpers mk ¼ 250 g Masse des Wägestücks m ¼ 200 g Dichte des Wassers rw ¼ 103 kg=m 3 Gesucht: Volumen V und Dichte r k des Körpers Fa ¼ FGk FG mw g ¼ mk g mg Daraus ergibt sich: mw ¼ mk m mw ¼ Vr w , folglich ist V ¼ mw r w 6 Fluidmechanik (Hydraulik) ¼ mk m r w (mw Masse des verdrängten Wassers) ¼ 50 10 3 kg 3 kg 10 m 3 V ¼ 50 10 6 m 3 ¼ 50 cm 3 mk ¼ Vrk folglich ist rk ¼ mk V ¼ 250 10 3 kg 50 10 6 kg ¼ 5 103 m3 m3 Beispiel: Wie tief taucht ein Würfel aus Gusseisen mit a ¼ 10 cm Kantenlänge und der Dichte r1 ¼ 7500 kg/m3 in ein Quecksilberbad mit der Dichte r2 ¼ 13 600 kg/m3 ein?
6.1 Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik) 399 Ist die Auftriebskraft kleiner als die Gewichtskraft des Körpers, so sinkt er. Ist die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft, so bleibt der Körper an jeder beliebigen Stelle innerhalb der Flüssigkeit, er schwebt. Ist die Auftriebskraft größer als die Gewichtskraft, schwimmt der Körper an der Oberfläche. Er ist im Gleichgewicht, wenn er so weit auftaucht, dass die Auftriebskraft (¼ Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit) gleich der Gewichtskraft des schwimmenden Körpers ist. Dann ist auch die Masse der verdrängten Flüssigkeit gleich der Masse des Körpers. 6.1.11 Gleichgewichtslagen schwimmender Körper Man unterscheidet bei schwimmenden Körpern stabile und labile Gleichgewichtslagen. Das Bild zeigt den Fall einer stabilen Schwimmlage. Zwei Kräfte wirken auf den schwimmenden Körper: Die im Körperschwerpunkt K angreifende, nach unten gerichtete Schwerkraft FG (Gewichtskraft) und die im Verdrängungsschwerpunkt F angreifende Auftriebskraft Fa. In der Gleichgewichtslage wirken die beiden gleich großen Kräfte Fa und FG längs der gemeinsamen Wirklinie W – der Körpermittellinie – in entgegengesetzter Richtung. Dreht man nun den Körper in der Zeichenebene nach links (Schräglage), so wird die vorher vertikale Mittellinie W um den Winkel j geneigt. Dabei bleibt zwar die Lage des Körperschwerpunkts K erhalten, jedoch bringt jede Neigungsänderung den Verdrängungsschwerpunkt F an eine andere Stelle. Das heißt aber auch: Die Parallelkräfte Fa und FG bekommen einen mehr oder weniger großen Wirkabstand h, sie bilden ein rechtsdrehendes Kräftepaar. Das Drehmoment von Auftriebskraft Fa und Gewichtskraft FG wirkt der Drehung des Körpers entgegen: Der Körper hat also eine stabile Schwimmlage. Das Wiederaufrichtungsmoment – die Stabilität – hängt vom Wirkabstand h ab. Er heißt deshalb auch: Hebelarm der statischen Stabilität. Lösung: Die Masse des Würfels ist m1 ¼ V1r1 ¼ a 3 r1 ¼ 10 3 m 3 3 kg 7,5 10 m3 m1 ¼ 7,5 kg Bei Schwimmen ist die Masse m2 des verdrängten Quecksilbers gleich der Masse m1 des Würfels. Das verdrängte Quecksilbervolumen hat die Form eines quadratischen Prismas mit der Höheh: V2 ¼ a2h: Folglich ist: m2 ¼ V2 r 2 ¼ a 2 hr 2 ¼ m1 h ¼ m1 a 2 r 2 7,5 kg ¼ 10 2 m2 3 kg 13,6 10 m3 ¼ 5,51 cm Stabile Schwimmlage Fa Auftriebskraft, in F angreifend FG Gewichtskraft, in K angreifend W Mittellinie des Körpers (Schwimmachse) F Verdrängungsschwerpunkt ¼ Schwerpunkt der verdrängten Flüssigkeit K Schwerpunkt des Körpers M Metazentrum ¼ Schnittpunkt der Mittellinie W mit der Wirklinie der Auftriebskraft h ¼ MK sin j Hebelarm der statischen Stabilität j Neigungswinkel MK metazentrische Höhe
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6.1 Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik) 399<br />
Ist die Auftriebskraft kleiner als die Gewichtskraft<br />
des Körpers, so sinkt er. Ist die Auftriebskraft<br />
gleich der Gewichtskraft, so bleibt der Körper an<br />
jeder beliebigen Stelle innerhalb der Flüssigkeit, er<br />
schwebt. Ist die Auftriebskraft größer als die<br />
Gewichtskraft, schwimmt der Körper an der Oberfläche.<br />
Er ist im Gleichgewicht, wenn er so weit<br />
auftaucht, dass die Auftriebskraft (¼ Gewichtskraft<br />
der verdrängten Flüssigkeit) gleich der Gewichtskraft<br />
des schwimmenden Körpers ist. Dann<br />
ist auch die Masse der verdrängten Flüssigkeit<br />
gleich der Masse des Körpers.<br />
6.1.11 Gleichgewichtslagen schwimmender Körper<br />
Man unterscheidet bei schwimmenden Körpern<br />
stabile und labile Gleichgewichtslagen.<br />
Das Bild zeigt den Fall einer stabilen Schwimmlage.<br />
Zwei Kräfte wirken auf den schwimmenden<br />
Körper: Die im Körperschwerpunkt K angreifende,<br />
nach unten gerichtete Schwerkraft FG (Gewichtskraft)<br />
und die im Verdrängungsschwerpunkt F angreifende<br />
Auftriebskraft Fa. In der Gleichgewichtslage<br />
wirken die beiden gleich großen Kräfte Fa und<br />
FG längs der gemeinsamen Wirklinie W – der Körpermittellinie<br />
– in entgegengesetzter Richtung.<br />
Dreht man nun den Körper in der Zeichenebene<br />
nach links (Schräglage), so wird die vorher vertikale<br />
Mittellinie W um den Winkel j geneigt.<br />
Dabei bleibt zwar die Lage des Körperschwerpunkts<br />
K erhalten, jedoch bringt jede Neigungsänderung<br />
den Verdrängungsschwerpunkt F an eine<br />
andere Stelle. Das heißt aber auch: Die Parallelkräfte<br />
Fa und FG bekommen einen mehr oder<br />
weniger großen Wirkabstand h, sie bilden ein<br />
rechtsdrehendes Kräftepaar.<br />
Das Drehmoment von Auftriebskraft Fa und Gewichtskraft<br />
FG wirkt der Drehung des Körpers entgegen:<br />
Der Körper hat also eine stabile Schwimmlage.<br />
Das Wiederaufrichtungsmoment – die Stabilität –<br />
hängt vom Wirkabstand h ab. Er heißt deshalb<br />
auch: Hebelarm der statischen Stabilität.<br />
Lösung:<br />
Die Masse des Würfels ist<br />
m1 ¼ V1r1 ¼ a 3 r1 ¼ 10 3 m 3 3 kg<br />
7,5 10<br />
m3 m1 ¼ 7,5 kg<br />
Bei Schwimmen ist die Masse m2 des verdrängten<br />
Quecksilbers gleich der Masse m1<br />
des Würfels. Das verdrängte Quecksilbervolumen<br />
hat die Form eines quadratischen<br />
Prismas mit der Höheh: V2 ¼ a2h: Folglich ist:<br />
m2 ¼ V2 r 2 ¼ a 2 hr 2 ¼ m1<br />
h ¼ m1<br />
a 2 r 2<br />
7,5 kg<br />
¼<br />
10 2 m2 3 kg<br />
13,6 10<br />
m3 ¼ 5,51 cm<br />
Stabile Schwimmlage<br />
Fa Auftriebskraft, in F angreifend<br />
FG Gewichtskraft, in K angreifend<br />
W Mittellinie des Körpers<br />
(Schwimmachse)<br />
F Verdrängungsschwerpunkt ¼ Schwerpunkt<br />
der verdrängten Flüssigkeit<br />
K Schwerpunkt des Körpers<br />
M Metazentrum ¼ Schnittpunkt der<br />
Mittellinie W mit der Wirklinie der<br />
Auftriebskraft<br />
h ¼ MK sin j Hebelarm der statischen<br />
Stabilität<br />
j Neigungswinkel<br />
MK metazentrische Höhe