Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
392 Ûbung: Der Lastkolben einer hydraulischen Presse hat 500 mm Durchmesser, der Triebkolben hat 40 mm Durchmesser. Die Höhen der Lederdichtungen betragen h2 ¼ 100 mm und h1 ¼ 16 mm. Die Reibungszahl beträgt m ¼ 0,1. a) Wie groß ist der Wirkungsgrad h? b) Wie groß ist die Presskraft F 0 2 , wenn die Triebkraft F 0 1 ¼ 1000 N wirkt? c) Wie groß ist das Hubverhältnis der Kolben? Lösung: a) Der Wirkungsgrad wird mit der bekannten Gleichung aus den Kolbendurchmessern d1, d2, den Dichtungshöhen h1, h2 und der Reibungszahl m bestimmt. b) Da der Wirkungsgrad bekannt ist, verwendet man die letzte Presskraftgleichung und berechnet F 0 2 aus der Triebkraft F 0 1 , den Kolbendurchmessern d1, d2 und dem Wirkungsgrad. c) Unter dem Hubverhältnis versteht man das Verhältnis der Kolbenwege s2=s1. Aufgaben Nr. 1001–1012 6.1.5 Druckverteilung in einer Flüssigkeit unter Berücksichtigung der Schwerkraft Im Abschnitt 6.1.3 (Seite 387) wurde gezeigt, dass der Druck in jeder waagerechten Ebene innerhalb einer Flüssigkeit konstant ist. Anders ausgedrückt: Der Druck an allen Stellen gleicher Flüssigkeitshöhe ist gleich groß. Es soll nun festgestellt werden, welche Beziehungen zwischen verschiedenen horizontalen Ebenen bestehen. Dazu wird das Gleichgewicht eines Flüssigkeitsquaders, dessen Längsachse vertikal steht, untersucht. Die Gewichtskraft FG (Schwerkraft) muss man jetzt in die Gleichgewichtsbetrachtung in Richtung der Längsachse mit einbeziehen. Gegeben: Lastkolbendurchmesser d2 ¼ 500 mm Triebkolbendurchmesser d1 ¼ 40 mm Dichtungshöhe h2 ¼ 100 mm Dichtungshöhe h1 ¼ 16 mm Triebkraft F 0 1¼ 1000 N Reibungszahl Gesucht: m ¼ 0,1 Wirkungsgrad h, Presskraft F 0 2 , Hubverhältnis s2=s1 1 4m h ¼ h2 d2 1 þ 4m h1 10 cm 1 4 0,1 ¼ 50 cm ¼ 0,79 1,6 cm 1 þ 4 0,1 4cm F 0 2 ¼ F0 d2 1 2 F 0 2 s2 s1 d1 ¼ 123,4 kN 2 d1 ¼ d2 6 Fluidmechanik (Hydraulik) ð500 mmÞ2 h ¼ 1kN d1 2 ð40 mmÞ 2 0,79 ð40 mmÞ2 1 ¼ ¼ 2 2 ð500 mmÞ 156,25
6.1 Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik) 393 Nach den Gesetzen der Statik müssen die Druckkräfte F1 und F2 die auf die Stirnseiten des Quaders einwirken und die Gewichtskraft FG die Gleichgewichtsbedingung erfüllen. Wird die Ansatzgleichung weiter entwickelt, dann ergibt sich eine Beziehung zwischen beiden Drücken p1, p2 und der Druckwirkung der Schwerkraft (rgh). Legt man die obere Stirnfläche des Quaders in die Flüssigkeitsoberfläche, so ist dort der Druck p1 ¼ 0. Auf seine untere Stirnfläche wirkt dann allein der Druck p ð¼ p2Þ, der durch die Schwerkraft in der Tiefe h verursacht wird. Der hydrostatische Druck ist an allen Stellen gleicher Tiefe gleich groß. Die Funktionsgleichung p ¼ f ðr, hÞ zeigt, dass der hydrostatische Druck proportional mit der Flüssigkeitsdichte und der Tiefe zunimmt. Die Einheitenrechnung kann bei dieser Gleichung Schwierigkeiten bereiten. Man muss die Einheit kg/s 2 m mit 1 ¼ m/m erweitern, um die Druckeinheit Pa zu erhalten. Die Erkenntnis über den hydrostatischen Druck von Flüssigkeiten infolge ihrer Schwerkraft verwendet man unter anderem zum Messen von Drücken, besonders des Luftdrucks. Den Luftdruckunterschied zwischen zwei voneinander abgeschlossenen Räumen (oder Gefäßen) kann man z. B. mit einem beiderseits offenen U-Rohr messen, das teilweise mit einer Flüssigkeit gefüllt ist (siehe Skizze). Der Druck auf die Flüssigkeit an der Stelle E2 des U-Rohrs ist gleich dem absoluten Luftdruck im abgeschlossenen Raum (z. B. in einem Kesselraum). Der Druck in waagerechten Ebenen einer zusammenhängenden Flüssigkeit ist konstant. Folglich herrscht an der Stelle E1 des U-Rohrs der gleiche Druck p2 wie bei E2. Der Druck p2 ist die Summe aus dem Flüssigkeitsdruck der Säule von der Höhe h und dem Atmosphärendruck (äußeren Luftdruck) p1. SFy ¼ 0 ¼ F2 F1 FG F2 ¼ F1 þ FG für F1 ¼ p1A, F2 ¼ p2 A und FG ¼ rgV ¼ rgAh gesetzt, ergibt p2 A ¼ p1A þ rgAh. p2 ¼ p1 þ rgh p ¼ rgh Druck infolge der Schwerkraft Die Flüssigkeitshöhe h, die den Druck p hervorruft, heißt Druckhöhe oder auch Pressungshöhe. ðpÞ ¼ðrÞðgÞðhÞ ¼ kg m3 kg m s2 kg m=s2 ¼ m2 m2 N ¼ m m kg m ¼ s2 s2 m 2 ¼ Pa Beispiel: Der Kesselraum eines Schiffs wird durch ein Gebläse unter Ûberdruck pü gesetzt. Das mit Wasser gefüllte U-Rohr-Manometer zeigt einen Höhenunterschied von 200 mm an. Der äußere Luftdruck beträgt 1027 mbar. Zu berechnen ist der Ûberdruck pü und der absolute Druck p2 im Kesselraum. Lösung: Den Ûberdruck pü berechnet man aus der Flüssigkeitshöhe h ¼ 200 mm. 3 kg m pü ¼ rgh ¼ 10 9,81 0,2 m ¼ 1962 Pa 3 2 m p r g h Pa ¼ N m 2 pü ¼ 19,62 mbar p2 ¼ p1 þ pü ¼ 1027 mbar þ 19,62 mbar p2 ¼ 1047 mbar s kg m 3 m s 2 m
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6.1 Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik) 393<br />
Nach den Gesetzen der Statik müssen die Druckkräfte<br />
F1 und F2 die auf die Stirnseiten des Quaders<br />
einwirken und die Gewichtskraft FG die<br />
Gleichgewichtsbedingung erfüllen. Wird die Ansatzgleichung<br />
weiter entwickelt, dann ergibt sich<br />
eine Beziehung zwischen beiden Drücken p1, p2<br />
und der Druckwirkung der Schwerkraft (rgh).<br />
Legt man die obere Stirnfläche des Quaders in die<br />
Flüssigkeitsoberfläche, so ist dort der Druck<br />
p1 ¼ 0. Auf seine untere Stirnfläche wirkt dann<br />
allein der Druck p ð¼ p2Þ, der durch die Schwerkraft<br />
in der Tiefe h verursacht wird. Der hydrostatische<br />
Druck ist an allen Stellen gleicher Tiefe<br />
gleich groß. Die Funktionsgleichung p ¼ f ðr, hÞ<br />
zeigt, dass der hydrostatische Druck proportional<br />
mit der Flüssigkeitsdichte und der Tiefe zunimmt.<br />
Die Einheitenrechnung kann bei dieser Gleichung<br />
Schwierigkeiten bereiten.<br />
Man muss die Einheit kg/s 2 m mit 1 ¼ m/m erweitern,<br />
um die Druckeinheit Pa zu erhalten.<br />
Die Erkenntnis über den hydrostatischen Druck<br />
von Flüssigkeiten infolge ihrer Schwerkraft verwendet<br />
man unter anderem zum Messen von<br />
Drücken, besonders des Luftdrucks. Den Luftdruckunterschied<br />
zwischen zwei voneinander abgeschlossenen<br />
Räumen (oder Gefäßen) kann man<br />
z. B. mit einem beiderseits offenen U-Rohr messen,<br />
das teilweise mit einer Flüssigkeit gefüllt ist<br />
(siehe Skizze).<br />
Der Druck auf die Flüssigkeit an der Stelle E2 des<br />
U-Rohrs ist gleich dem absoluten Luftdruck im<br />
abgeschlossenen Raum (z. B. in einem Kesselraum).<br />
Der Druck in waagerechten Ebenen einer zusammenhängenden<br />
Flüssigkeit ist konstant. Folglich<br />
herrscht an der Stelle E1 des U-Rohrs der gleiche<br />
Druck p2 wie bei E2. Der Druck p2 ist die Summe<br />
aus dem Flüssigkeitsdruck der Säule von der<br />
Höhe h und dem Atmosphärendruck (äußeren<br />
Luftdruck) p1.<br />
SFy ¼ 0 ¼ F2 F1 FG<br />
F2 ¼ F1 þ FG<br />
für F1 ¼ p1A, F2 ¼ p2 A und<br />
FG ¼ rgV ¼ rgAh gesetzt, ergibt<br />
p2 A ¼ p1A þ rgAh.<br />
p2 ¼ p1 þ rgh<br />
p ¼ rgh<br />
Druck infolge<br />
der Schwerkraft<br />
Die Flüssigkeitshöhe h, die den Druck p<br />
hervorruft, heißt Druckhöhe oder auch<br />
Pressungshöhe.<br />
ðpÞ ¼ðrÞðgÞðhÞ ¼ kg<br />
m3 kg m<br />
s2 kg m=s2<br />
¼<br />
m2 m2 N<br />
¼<br />
m<br />
m kg<br />
m ¼<br />
s2 s2 m<br />
2 ¼ Pa<br />
Beispiel:<br />
Der Kesselraum eines Schiffs wird durch<br />
ein Gebläse unter Ûberdruck pü gesetzt. Das<br />
mit Wasser gefüllte U-Rohr-Manometer zeigt<br />
einen Höhenunterschied von 200 mm an.<br />
Der äußere Luftdruck beträgt 1027 mbar.<br />
Zu berechnen ist der Ûberdruck pü und der<br />
absolute Druck p2 im Kesselraum.<br />
Lösung:<br />
Den Ûberdruck pü berechnet man aus der<br />
Flüssigkeitshöhe h ¼ 200 mm.<br />
3 kg m<br />
pü ¼ rgh ¼ 10 9,81 0,2 m ¼ 1962 Pa<br />
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p r g h<br />
Pa ¼ N<br />
m 2<br />
pü ¼ 19,62 mbar<br />
p2 ¼ p1 þ pü ¼ 1027 mbar þ 19,62 mbar<br />
p2 ¼ 1047 mbar<br />
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