Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

6.1 Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik) 389
Bewegt sich der Triebkolben um die Strecke s1
nach unten, so verdrängt er das Volumen V ¼ A1 s1.
Das vom Triebkolben verdrängte Volumen muss
gleich dem vom Lastkolben freigegebenen Raum
V ¼ A2 s2 sein.
Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der Ûberlegung,
dass die Triebarbeit W ¼ F1 s1 gleich der
Lastarbeit W ¼ F2 s2 sein muss, wenn die Reibung
unberücksichtigt bleibt. Für F ¼ pA eingesetzt
ergibt sich für das Verhältnis der Kolbenwege
s1=s2 ¼ A2=A1.
Wird in die zuletzt gefundene Gleichung schließlich
für die Fläche A1 ¼ pd1 2 =4 und für die Fläche
A2 ¼ pd2 2 =4 eingesetzt, dann erhält man die
Beziehung zwischen Kolbenwegen und Kolbendurchmessern.
Ûbung: Mit einem hydraulischen Hebebock soll
am Lastkolben eine Kraft von 80 kN erzeugt
werden. Mit einer entsprechenden Hebelübersetzung
wird auf den Triebkolben eine Triebkraft von
1,2 kN ausgeübt. Der hydrostatische Druck im
Behälter soll 45 bar betragen.
Ohne Berücksichtigung der Reibung sind die
Durchmesser der beiden Zylinder zu bestimmen.
Außerdem ist die erforderliche Hebelübersetzung
für eine Handkraft von 150 N zu berechnen.
Lösung: Aus dem hydrostatischen Druck p, der
Triebkraft F1 und der Hubkraft F2 können mit
Hilfe der Druckgleichung die Kolbenflächen A1
und A2 und daraus die Zylinderdurchmesser d1
und d2 berechnet werden. Man setzt für
1kN¼ 103 5 N
N und 1 bar ¼ 10
m2 in die Gleichungen ein und erhält die Kolbenflächen
in der Einheit m2 . Mit 10 6 m2 ¼ 1mm2 kann dann umrechnet werden.
Die erforderliche Hebelübersetzung i drückt man
durch das Verhältnis der Triebkraft F1 zur Handkraft
F aus.
V ¼ A1 s1 ¼ A2 s2
s1
s2
¼ A2
A1
W ¼ F1 s1 ¼ F2 s2
s1
s2
s1
s2
pA1 s1 ¼ pA2 s2
s1
s2
¼ A2
A1
¼ A2
¼
A1
pd2 2 =4
pd1 2 =4
2
d2
¼
d1 2
Die Kolbenwege verhalten
sich umgekehrt zueinander
wie die Kolbenflächen.
Die Kolbenwege verhalten
sich umgekehrt zueinander
wie die Quadrate der Kolbendurchmesser.
Gegeben:
Hubkraft F2 ¼ 80 kN ¼ 80 10 3 N
Triebkraft F1 ¼ 1,2 kN ¼ 1; 2 10 3 N
Druck p ¼ 45 bar ¼ 45 10 5 N/m 2
Handkraft F ¼ 150 N
Gesucht:
Triebkolbendurchmesser d1
Lastkolbendurchmesser d2
Hebelübersetzung i
p ¼ F1
A1
daraus erhält man
A1 ¼ F1
p ¼ 1,2 103 N
45 10 5 N=m 2 ¼ 2,67 10 4 m 2
A1 ¼ 267 mm 2
p ¼ F2
A2
d1 ¼ 18,4 mm
daraus erhält man
A2 ¼ F2
p ¼ 80 103 N
45 10 5 N=m 2 ¼ 1,778 10 2 m 2
A2 ¼ 17 780 mm 2
i ¼ F1
F
1200 N
¼ ¼ 8 : 1
150 N
d2 ¼ 150,5 mm