Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
374 Die Welle II wird beim Rad 3 beansprucht durch das Biegemoment Mb max ¼ 71,55 10 4 Nmm und das Torsionsmoment MT ¼ 39,79 10 4 Nmm. Weil das Torsionsmoment MT ¼ MII in der Welle II von Rad 2 bis Rad 3 konstant ist, ergibt sich der gefährdete Querschnitt im Punkt der größten Biegebeanspruchung, also bei Rad 3. Das resultierende Moment Mv aus Biege- und Torsionsbeanspruchung (¼ Vergleichsmoment) beträgt: ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mv ¼ Mb 2 þ 0,75ða0MT Þ 2 q Bei gleichbleibender Drehrichtung liegt wechselnde Biege- und schwellende Torsionsbeanspruchung vor, also a0 ¼ 0,7 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mv ¼ ð71,55 104 NmmÞ 2 þ 0,75ð0,7 39,79 104 NmmÞ 2 q Mv ¼ 75,51 10 4 Nmm Nach Abschnitt 5.11.4.2 (Seite 369) lässt sich das Vergleichsmoment Mv auch zeichnerisch bestimmen. Beachte: 0,866 a0 MT ¼ 0,866 0,7 MT ¼ 0,606 MT . 0,606 M T 4 Nmm Momentenmaßstab MM ¼ 15 10 cm (1 cm ¼b 15 104 Nmm) Ergebnis: 4 Nmm Mv ¼ 5cm 15 10 cm ¼ 75 104 Nmm Mit dem Vergleichsmoment Mv und der zulässigen Biegespannung kann der Wellendurchmesser bestimmt werden: sv ¼ Mv M v M bmax W sbzul W ¼ 0,1d 3 für den Kreisquerschnitt eingesetzt und nach d aufgelöst : sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 Mv derf ¼ 0,1sb zul sb zul ¼ 80 N mm 2 gewählt ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 75,51 10 derf ¼ 4 Nmm 0,1 80 N mm 2 v u u3 t derf ¼ 45,53 mm d ¼ 46 mm gewählt ðNormmaßÞ 5 Festigkeitslehre
5.12 Festigkeit, zulässige Spannung, Sicherheit 375 5.12 Festigkeit, zulässige Spannung, Sicherheit 5.12.1 Festigkeitswerte im Spannungs-Dehnungs-Diagramm Beim Zugversuch nach DIN EN 10002 wird eine Zugprobe allmählich verlängert und die dabei von der Zugprüfmaschine angezeigte Zugkraft F ermittelt. Aus der Zugkraft F wird die auf den Ausgangsquerschnitt A0 bezogene Zugspannung sz ¼ F=A0 berechnet. Ebenso aus der Längenänderung Dl die auf die Messlänge l0 bezogene Dehnung e. Zu jeder berechneten Spannung gehört ein bestimmter Dehnungswert. Trägt man die Spannung s über der Dehnung e in ein rechwinkliges Achsenkreuz ein, dann erhält man das Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Bis zum Punkt E verhält sich Stahl elastisch. Der zugehörige Festigkeitswert ist die Elastizitätsgrenze sE. Bei anschließender Entlastung ist keine bleibende Dehnung festzustellen. Bis zum Punkt P ist der Spannungsanstieg geradlinig, also gilt bis zur Proportionalitätsgrenze sP das Hooke’sche Gesetz s ¼ eE. Der Elastizitätsmodul E erscheint im schraffierten Dreieck als Tangens des Neigungswinkels der Spannungslinie (tan j ¼b E). Die den Punkten P und E entsprechenden Festigkeitswerte (Proportionalitäts- und Elastizitätsgrenze) sind nicht leicht zu bestimmen. Anders dagegen ist es mit Punkt S (Streckgrenze Re). Er ist durch einen plötzlichen Spannungsabfall deutlich markiert (jedenfalls bei weichem Stahl) und erscheint in allen Festigkeitsangaben. Die Streckgrenze ist der wichtigste Festigkeitswert bei statischer (ruhender) Belastung. Den eigentümlichen Zustand des Spannungsabfalls bei fortschreitender Verlängerung des Stabes nennt man Fließen des Werkstoffes. Es gibt Werkstoffe ohne erkennbare Streckgrenze (z. B. legierte Stähle). Als gleichwertigen Ersatz ermittelt man für diese Werkstoffe die 0,2 %- Dehngrenze und nennt die dort wirkende Spannung Rp0,2. Verlängerung Dl Dehnung e ¼ Ursprungslänge l0 e ¼ Dl l0 l l0 ¼ l0 Spannungs-Dehnungs-Diagramm für Stahl (schematisch) Zusammenfassung der Festigkeitswerte für Zugbeanspruchung (Tabelle 5.8, Seite 385): Elastizitätsgrenze Proportionalitätsgrenze e Dl, l, l0 1 mm von geringerer Bedeutung sE sP Re Streckgrenze, wichtigster Kennwert, für S235JR z. B. Re ¼ 235 N/mm2 Rm Zugfestigkeit für S235JR z. B. Rm 360 N/mm 2 Rp0,2 0,2 %-Dehngrenze ist die Spannung, bei der nach Entlastung der Zugprobe eine bleibende Dehnung e ¼ 0,2 % zurückbleibt.
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374<br />
Die Welle II wird beim Rad 3 beansprucht durch<br />
das Biegemoment Mb max ¼ 71,55 10 4 Nmm und<br />
das Torsionsmoment MT ¼ 39,79 10 4 Nmm.<br />
Weil das Torsionsmoment MT ¼ MII in der Welle II von Rad 2 bis Rad 3 konstant ist, ergibt sich der gefährdete<br />
Querschnitt im Punkt der größten Biegebeanspruchung, also bei Rad 3.<br />
Das resultierende Moment Mv aus Biege- und Torsionsbeanspruchung (¼ Vergleichsmoment) beträgt:<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
Mv ¼ Mb 2 þ 0,75ða0MT Þ 2<br />
q<br />
Bei gleichbleibender Drehrichtung liegt wechselnde Biege- und schwellende Torsionsbeanspruchung vor,<br />
also a0 ¼ 0,7<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
Mv ¼ ð71,55 104 NmmÞ 2 þ 0,75ð0,7 39,79 104 NmmÞ 2<br />
q<br />
Mv ¼ 75,51 10 4 Nmm<br />
Nach Abschnitt 5.11.4.2 (Seite 369) lässt sich das Vergleichsmoment Mv auch zeichnerisch bestimmen.<br />
Beachte: 0,866 a0 MT ¼ 0,866 0,7 MT ¼ 0,606 MT .<br />
0,606 M T<br />
4 Nmm<br />
Momentenmaßstab MM ¼ 15 10<br />
cm<br />
(1 cm ¼b 15 104 Nmm)<br />
Ergebnis:<br />
4 Nmm<br />
Mv ¼ 5cm 15 10<br />
cm ¼ 75 104 Nmm<br />
Mit dem Vergleichsmoment Mv und der zulässigen Biegespannung kann der Wellendurchmesser<br />
bestimmt werden:<br />
sv ¼ Mv<br />
M v<br />
M bmax<br />
W sbzul W ¼ 0,1d 3 für den Kreisquerschnitt eingesetzt und nach d aufgelöst :<br />
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
3 Mv<br />
derf ¼<br />
0,1sb zul<br />
sb zul ¼ 80 N<br />
mm 2 gewählt<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
75,51 10<br />
derf ¼<br />
4 Nmm<br />
0,1 80 N<br />
mm 2<br />
v<br />
u<br />
u3<br />
t<br />
derf ¼ 45,53 mm d ¼ 46 mm gewählt ðNormmaßÞ<br />
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