Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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Das Quadrat des Widerstandsmoments lässt sich
unter der Wurzel ausklammern und dann als 1/W
vor die Wurzel schreiben. Bringt man das Widerstandsmoment
W nun noch auf die linke Seite der
Gleichung, dann erhält man dort das Produkt
svW. In Anlehnung an die Bezeichnung in der
Biege-Hauptgleichung (Biegemoment Mb ¼ sbW)
wird hier das entsprechende Produkt als Vergleichsmoment
Mv bezeichnet.
Das Vergleichsmoment Mv lässt sich auch zeichnerisch
bestimmen (rechtwinkliges Dreieck, Lehrsatz
des Pythagoras), wenn man beachtet, dass
0,866 2 a0 2 MT 2 ¼ 0,75 (a0 MT) 2 ist.
Entsprechend der Biege-Hauptgleichung schreibt
man sv ¼ Mv=W sb zul und entwickelt daraus
mit W ¼ 0,1d 3 eine Gleichung für den erforderlichen
Durchmesser einer Welle mit Kreisquerschnitt.
Ebenso kann man bei Kreisquerschnitt verfahren
und
Werf ¼ Mv=sb zul ¼ 0,1d 3 erf ð1 q4 Þ
schreiben, wenn man q ¼ di=d setzt. Auf diese
Weise erhält man auch für den Kreisringquerschnitt
eine Gleichung für den erforderlichen
Aussendurchmesser d.
5.11.4.3 Ûbung zu Biegung und Torsion
Der gefährdete Querschnitt einer Getriebewelle
(Kreisquerschnitt) wird durch ein Biegemoment
und ein Torsionsmoment beansprucht. Daraus sollen
Vergleichsmoment und Wellendurchmesser bestimmt
werden. Für das Anstrengungsverhältnis
wird a0 ¼ 0,7 eingesetzt (siehe Seite 369).
Lösung: Die Lösung macht keine
Schwierigkeiten, weil hier nur mit den
entwickelten Gleichungen zu arbeiten
ist.
Aufgaben Nr. 939–949
sv ¼
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Mb 2
W
sv ¼ 1
W 4 ða0 MTÞ 2
r
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
svW ¼ Mb 2 þ 0,75ða0 MTÞ 2
q
MT
2
þ 3a0
2
2 4W 2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Mb 2 þ 3
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Mv ¼ Mb 2 þ 0,75ða0 MTÞ 2
q
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3 Mv
derf ¼
0,1sb zul
gilt für Kreisquerschnitt
derf ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Mv
0,1sb zulð1 q 4 s
3
Þ
gilt für Kreisquerschnitt mit:
Innendurchmesser di
q ¼
Außendurchmesser d
Vergleichsmoment
Zeichnerische Bestimmung
des Vergleichsmoments
Mv
Gegeben: Mb ¼ 416 Nm
MT ¼ 200 Nm
sb zul ¼ 60 N=mm 2 ,gewählt
a0 ¼ 0,7
Gesucht: Mv und d
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Mv ¼ Mb 2 þ 0,75ða0 MTÞ 2
q
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Mv ¼ ð416 103 NmmÞ 2 þ 0,75ð0,7 200 103 NmmÞ 2
q
Mv ¼ 43,3 10 4 Nmm
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3 Mv 433 10
derf ¼ ¼
0,1sb zul
3 Nmm
0,1 60 N
mm2 v
u
t3
5 Festigkeitslehre
derf Mv sb zul
mm Nmm
N
mm 2
derf ¼ 41,6 mm dausgeführt ¼ 42 mm ðNormmaßÞ