Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung 369
Alle Festigkeitshypothesen zur Lösung dieses Problems
laufen darauf hinaus, mit Hilfe einer so genannten
Vergleichsspannung sv die gemeinsame
Wirkung der beiden ungleichartigen Spannungen
zu erfassen. Die Vergleichsspannung wird auch
ideelle Spannung genannt.
Hier wird mit der Vergleichsspannung nach der
Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie
gearbeitet, weil sie mit Versuchsergebnissen gut
übereinstimmt. Die geometrische Addition beider
Spannungen nach der vorherigen Ûberlegung ist
noch erkennbar.
Der bei tt stehende Faktor a0 heißt Anstrengungsverhältnis.
Es ist abhängig von den Grenzfestigkeitswerten
für den betreffenden Werkstoff.
Für Wellen aus Stahl ist das Verhältnis der zulässigen
Spannungen in Abhängigkeit vom jeweiligen
Belastungsfall annähernd bekannt, so dass man die
angegebenen Werte für a0 einsetzen kann.
Der Begriff Belastungsfall wird im Abschnitt
5.12.2.3 (Seite 376) erläutert.
5.11.4.2 Vergleichsmoment Mv
Für Wellen mit Kreis- oder Kreisringquerschnitt
lässt sich die Gleichung für die Vergleichsspannung
weiter entwickeln. Dazu werden für die
Spannungen sb und tt entsprechend den zugehörigen
Hauptgleichungen, die Quotienten aus dem
Kraftmoment und dem Widerstandsmoment eingesetzt.
Die Gleichungen für axiales und polares Widerstandsmoment
bei Kreis- und Kreisringquerschnitten
zeigen, dass das polare Widerstandsmoment
Wp doppelt so groß ist wie das axiale Widerstandsmoment
WðWp ¼ 2WÞ, so dass im Nenner der
Torsions-Hauptgleichung Wp durch 2W ersetzt
werden kann.
Hinweis: Bekannt geworden sind vor allem
die Dehnungshypothese, die Schubspannungshypothese
und die Hypothese der
größten Gestaltänderungsenergie.
sv ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sb 2 þ 3ða0ttÞ 2
q
a0 ¼ sb Grenz
1,73tGrenz
sb zul
Anstrengungsverhältnis
a0 ¼ 1 wenn sb und tt im gleichen
Belastungsfall wirken
a0 ¼ 0,7 wenn sb wechselnd (III) und tt
schwellend (II) wirkt (Hauptfall
bei Wellen, weil die Randfasern
während jeder Wellenumdrehung
einmal unter þsb und einmal
unter sb stehen.
sv ¼
sb ¼ Mb
sv ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sb 2 þ 3ða0ttÞ 2
q
tt ¼ MT
¼
Wp
MT
W
2W eingesetzt:
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Mb
W
2
MT
þ3 a0
2W
Beispiel:
Für den Kreisquerschnitt ist
pd 3
W ¼
32
und
3 pd
Wp ¼
16
also auch
Wp ¼ 2 pd3
¼ 2W
32
2