Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

358
Lehrbeispiel: Knickung im unelastischen Bereich
Aufgabenstellung:
Ein Hydraulikarbeitszylinder soll eine Kraft F ¼ 100 kN
aufbringen. Die freie Knicklänge beträgts ¼ l ¼ 350 mm.
Es ist der Durchmesser der Kolbenstange mit kreisförmigem
Querschnitt zu bestimmen. Sicherheit gegen Knicken n ¼ 5.
Werkstoff E295.
Lösung:
FK ¼ EIp2
s 2
I ¼ pd4
64
l ¼ s
i
¼ l
i
Die Knickkraft FK , die der Stab gerade noch aushält, soll sein:
FK ¼ Fn ¼ 100 kN 5 ¼ 500 kN
Ierf ¼ FK s2 Ep2 ¼ 500 103 N 3,52 104 mm 2
2,1 105 N
¼ 2,955 10 4 mm 4
p2
mm 2
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
4 64 Ierf 64 2,955 10
derf ¼ ¼
p
4 mm4 r
4
¼ 27,85 mm
p
gewählt: d ¼ 30 mm
Nachprüfung des Schlankheitsgrades:
l ¼ 4s 4 350 mm
¼
d 30 mm ¼ 46,7 < l0 ¼ 89
Die Rechnung nach Euler ist also unzulässig.
Nachrechnung nach Tetmajer:
Da l ¼ 47 sehr weit im Tetmajer-Bereich liegt, wird der Durchmesser
erhöht auf d ¼ 35 mm. Dadurch wird
l ¼
4 350 mm
¼ 40
35 mm
sK ¼ 335 0,62 l sK¼335 0,62 40 ¼ 310,2 N
mm 2
Die vorhandene Druckspannung sd vorh ist:
sd vorh ¼ F
A ¼ 100 103 N 4
352 mm2 N
¼ 103,94
p mm 2
nvorh ¼ sK
310,2
¼
sd vorh
N
mm 2
103,94 N
mm 2
¼ 2,98 < nerf ¼ 5 d neu gewählt: d ¼ 45 mm
Neuer Schlankheitsgrad l ¼
sK ¼ 335 0,62 31,1 ¼ 315,7 N
mm 2
sd vorh ¼ 100 103 N 4
452 mm2 N
¼ 62,88
p mm 2
nvorh ¼ sK
sd vorh
4 350 mm
¼ 31,1
45 mm
5 Festigkeitslehre
315,7
¼
N
mm 2
62,88 N
mm 2
¼ 5,02 Die verlangte Sicherheit ist vorhanden:
l
d
F