Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

5.10 Beanspruchung auf Knickung 355
Tabelle 5.3 Grenzschlankheitsgrad l0 für Euler’sche Knickung und Tetmajergleichungen
Werkstoff E-Modul in N
mm 2
Nadelholz
Gusseisen
S235JR
E295 und E335
Al –Cu –Mg
Al –Mg3
10 000
100 000
210 000
210 000
70 000
70 000
Grenzschlankheitsgrad
l0
100
80
105
89
66
110
5.10.3 Unelastische Knickung (Tetmajerfall)
Es wird nun die Frage geklärt, was zu tun ist, wenn
sich bei der Nachrechnung des Schlankheitsgrades
l mit den gegebenen Abmessungen zeigt, dass der
Grenzschlankheitsgrad l0 (Tabelle 5.3) unterschritten
worden ist (lvorh < l0).
In diesem Fall können die Eulergleichungen nicht
mehr gelten. Man hätte dann mit einer Knickspannung
sK gerechnet, die größer ist als die Proportionalitätsgrenze
sdP. In diesem Spannungsbereich
gilt das Hooke’sche Gesetz, das Euler seiner Gleichung
zugrunde gelegt hat, nicht mehr. Das wird
daran erkannt, dass in den Eulergleichungen für
die Knickkraft FK und Knickspannung sK der
Elastizitätsmodul E erscheint.
Tetmajer und andere Forscher haben für die Fälle
lvorh < l0 aus vielen Versuchen Berechnungsgleichungen
entwickelt. Weil diesen Versuchen Knickspannungen
sK zugrunde liegen, die größer sind
als die Proportionalitätsgrenze sdP, spricht man
von unelastischer Knickung.
Mit den Tetmajergleichungen ist eine unmittelbare
Berechnung der Querschnittsabmessungen im Gegensatz
zum Eulerfall nicht möglich.
Bei allen Knickaufgaben mit unbekannten Querschnittsabmessungen,
also auch unbekanntem
Schlankheitsgrad l, berechnet man daher zunächst
das erforderliche axiale Flächenmoment 2. Grades
aus der Eulergleichung und bestimmt nach Tabelle
5.1, Seite 309, die Querschnittsabmessungen (im
Beispiel den Durchmesser d) und den Trägheitsradius
i.
Tetmajergleichungen
für sK in N
mm 2
sK ¼ 29,3 0,194 l
sK ¼ 776 12 l þ 0,053 l 2
sK ¼ 310 1,14 l
sK ¼ 335 0,62 l
Beachte: Die Tetmajergleichungen sind
Zahlenwergleichungen mit sK in N/mm 2 .
Beispiel:
Für einen knickbeanspruchten Stab aus
S235JR stellt sich heraus:
lvorh ¼ s 100 mm
¼
i 2mm ¼ 50 < l0 ðS235JRÞ ¼ 105
Für lvorh ¼ 50 und E ¼ 2,1 10 5 N=mm 2
wird
E p2
sK ¼
l
2 ¼
2,1 10 5
N
p2
mm2 2500
¼ 829 N
mm 2
Die Proportionalitätsgrenze für S235JR liegt
dagegen bei etwa 190 N/mm 2 (siehe auch
Euler-Hyperbel Seite 354).
Beispiel:
Nach Tabelle 5.3 ergibt sich mit l ¼ 50 aus
der Tetmajergleichung für S235JR
sK ¼ 310 1,14 l
sK ¼ð310 1,14 50Þ N N
¼ 253
mm2 mm2 Beispiel:
Für einen Stab aus S235JR (Kreisquerschnitt)
wird bei s ¼ l ¼ 300 mm, F ¼ 10 000 N und
10-facher Knicksicherheit (v ¼ 10):
Ierf ¼ vFl2
E p2 ¼ 10 10 4 N 9 10 4 mm2 N
Ierf ¼ 4342 mm 4
2,1 10 5
derf ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
4
20 Ierf ¼ 17,2 mm
i ¼ d
¼ 4,3 mm
4
p2
mm2