Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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Trägt man entsprechend der Eulergleichung die
Knickspannung sK über dem Schlankheitsgrad l
auf, so ergibt sich eine Hyperbel dritten Grades. Es
wird mit dem Elastizitätsmodul für Stahl gerechnet:
E ¼ 210 000 N=mm 2 ¼ 2,1 10 5 N=mm 2 :
Bekannt ist, dass die Eulergleichung nur gilt, solange
die Knickspannung sK sdP (Proportionalitätsgrenze)
ist. Mit diesem Wert für sdP (für
S235JR etwa 190 N/mm2 ) kann mit einer Waagerechten
im Diagramm die obere und linke Grenze
des Gültigkeitsbereichs für die Eulergleichung
festgelegt werden (elastischer Bereich). Lotet man
vom Schnittpunkt der Waagerechten mit der Euler-
Hyperbel auf die l-Achse, dann wird als einfaches
Kriterium für alle Rechnungen der Grenzschlankheitsgrad
l0 gefunden. Nur mit Schlankheitsgraden
l rechts vom Grenzschlankheitsgrad l0 ist
die Gültigkeit der Eulergleichung gewahrt (siehe
Arbeitsplan 5.10.4, Seite 356).
Ûber die Eulergleichung für die Knickspannung
kann man den Grenzschlankheitsgrad l0 für verschiedene
Werkstoffe in Abhängigkeit von der Proportionalitätsgrenze
sdP berechnen. Da l0 immer
der untere Grenzwert ist, für den die Eulergleichung
gerade noch gilt, wird l0 ¼ lmin geschrieben.
Je höher die Proportionalitätsgrenze sdP des Werkstoffs
liegt, umso kleiner ist der Grenzschlankheitsgrad
l0, das heißt, umso größer wird der Bereich,
für den die Eulergleichung gilt.
Für die wichtigsten Werkstoffe gibt Tabelle 5.3 die
Grenzschlankheitsgrade zur Euler’schen Knickberechnung
an.
Die Eulergleichung gilt nur, solange der errechnete
Schlankheitsgrad l gleich oder größer ist
als der in Tabelle 5.3 angegebene Grenzschlankheitsgrad
l0. Gültigkeitsbereich der Eulergleichung:
s=i ¼ lvorh l0.
Euler-Hyperbel mit Grenzschlankheitsgrad
l0 für S235JR
Beachte: Bei allen Rechnungen nach Euler
muss garantiert sein, dass der vorhandene
Schlankheitsgrad lvorh größer ist als der
Grenzschlankheitsgrad l0:
lvorh > l0
rffiffiffiffiffiffiffi
E
l0 ¼ lmin ¼ p
Eulerbedingung
sdP
Grenzschlankheitsgrad
Beispiel:
Für den Werkstoff Stahl mit
E ¼ 2,1 10 5 N=mm 2 und einer Proportionalitätsgrenze
sdP ¼ 190 N=mm 2 (S235JR)
wird der Grenzschlankheitsgrad:
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffi
2,1 10
E
l0 ¼ p ¼ p
sdP
5 N
mm2 190 N
mm2 v
u
t
l0 ¼ 104,44
5 Festigkeitslehre