Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

5.10 Beanspruchung auf Knickung 353
Die nach Ierf aufgelöste Eulergleichung garantiert
nicht, dass der vorliegende Fall tatsächlich im Gültigkeitsbereich
dieser Gleichung liegt, also im Gültigkeitsbereich
des Hooke’schen Gesetzes. Nur in
diesem Bereich ist der E-Modul eine Konstante,
und nur für diesen Fall kann die Eulergleichung
gelten.
Um zu wissen, ob und wann man im Einzelfall mit
der Eulergleichung rechnen darf, wird eine Gleichung
für die Knickspannung sK entwickelt. Dazu
benutzt man die Beziehung sK ¼ FK=A. Zur Vereinfachung
wird statt Imin nur I geschrieben.
Mit dem Ziel, eine möglichst einfach aufgebaute
Gleichung für sK zu erhalten, hat man zwei neue
Größen eingeführt, den Trägheitsradius i und den
Schlankheitsgrad l:
Zunächst bieten sich die beiden geometrischen
Größen I und A zur Vereinfachung an. Man setzt
das axiale Flächenmoment I ¼ i 2 A und bezeichnet
i als den Trägheitsradius des Querschnitts.
Für den Kreisquerschnitt ist nach Tabelle 5.1, Seite
309, das axiale Flächenmoment I ¼ pd 4 =64;
die Kreisfläche berechnet sich aus A ¼ pd 2 =4.
Damit erhält man eine sehr einfache Beziehung für
den Trägheitsradius eines Kreisquerschnitts.
Nach der Einführung des Trägheitsradius erscheint
bei entsprechender Schreibweise in der Eulergleichung
für die Knickspannung nun der Quotient
s 2 =i 2 (siehe oben). Die Wurzel daraus heißt
Schlankheitsgrad l.
Damit ist die einfachste Form für die Eulergleichung
gefunden. Sie zeigt, dass Stäbe von gleichem
Schlankheitsgrad (geometrisch ähnliche
Stäbe) die gleiche Knickspannung sK haben und
dass sK außer von l nur vom Elastizitätsmodul E
abhängig ist.
Beachte: Die Eulergleichung gilt nur dann,
wenn die Knickspannung sK gleich oder
kleiner ist als die Proportionalitätsgrenze sdP
des Werkstoffs.
Zur Proportionalitätsgrenze siehe
Abschnitt 5.12.1, Seite 375.
sK ¼ FK
A
¼ EIp2
s 2 A
sK ¼ E p 2 I
A
1
s 2
sK ¼ E p 2 ðI=AÞ
s2 ¼ E p2 i2 E p2
¼
s2 ðs2 =i2Þ rffiffiffiffi
I
Trägheitsradius i ¼
A
i 2 ¼ I
A
(Gleichungen für i in Tabelle 5.1, Seite 309)
4 pd
I ¼
64
rffiffiffiffiffiffi
I
i ¼
A
i ¼ d
4
2 pd
A ¼
4
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pd
¼
4 4
64 pd 2
r
Trägheitsradius
für Kreisquerschnitt
freie Knicklänge s
Schlankheitsgrad l ¼
Trägheitsradius i
l ¼ s
i
E p2
sK ¼
l 2
Knickspannung
sK, E l s, i
N
mm 2 1 mm