Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
350 Mit dem Ausdruck für x0 und mit der Beziehung für den Flächeninhalt der Momentenfläche AM ¼ Fl 2 =16 ergibt sich die spezielle Durchbiegungsgleichung und die Gleichung zur Berechnung des Neigungswinkels a für die Endtangente. 4. Ûbung: Stützträger mit konstanter Streckenlast Zur Herleitung einer Gleichung für die maximale Durchbiegung f in Trägermitte darf nur mit der Momentenfläche bis zur Stelle der größten Durchbiegung gerechnet werden (siehe 3. Ûbung). Das ist hier zugleich die Mb max-Stelle, mit Mb max ¼ Fl=8. Der Flächeninhalt AM der Parabelfläche beträgt zwei Drittel der umschriebenen Rechteckfläche (siehe 2. Ûbung). Der Schwerpunktsabstand beträgt 5l=16 (siehe auch Handbuch Maschinenbau, Flächenschwerpunkt). Wie in der 2. Ûbung wird die Resultierende der Streckenlast mit F ¼ F 0 l berechnet. Wie in den vorhergehenden Ûbungen geht man von der allgemeinen Durchbiegungsgleichung aus, um die speziellen Gleichungen für f und tan a zu bekommen. 5. Ûbung: Biegeträger mit mehreren Belastungen (Ûberlagerungsprinzip) In praktischen Aufgaben wirken häufig mehrere Belastungen zugleich in einer Ebene biegend, z. B. eine Einzelkraft neben der gleichmäßig über dem Träger verteilten Eigengewichtskraft. Solche Aufgabenstellungen löst man nach dem Ûberlagerungsprinzip. Es besteht darin, dass man sich die Belastungen einzeln auf den Träger aufgesetzt vorstellt, deren Einzeldurchbiegungen f1, f2, f3 ... mit den bekannten Gleichungen bestimmt und zum Schluss diese Beträge addiert. Im vorliegenden Fall sind die Gleichungen für f1 (3. Ûbung) und f2 (4. Ûbung) bekannt und es kann damit eine Gleichung fürfges ¼ f1 þ f2 erstellt werden. f ¼ 1 EI AM x0 AM ¼ Mb max f ¼ 1 EI f ¼ Fl3 48EI l Fl ¼ 4 4 Fl2 l 16 3 f ¼ 1 EI AM x0 AM ¼ 2 3 Mbmax f ¼ 1 EI f ¼ 5 384 Fl 2 24 Fl 3 EI l 2 5 16 l fges ¼ f1 þ f2 ¼ Fl3 EI fges ¼ 0,034 Fl3 EI l Fl2 ¼ 4 16 tan a ¼ f ¼ 2 3 5 Festigkeitslehre Fl 8 x0 ¼ l 2 tan a ¼ f ¼ Fl2 16EI x0 1 5 þ 48 384 ¼ Fl2 24EI
5.10 Beanspruchung auf Knickung 351 5.10 Beanspruchung auf Knickung 5.10.1 Grundbegriffe Ist bei der Beanspruchung auf Druck der Stab sehr schlank, d. h. ist die Stablänge l im Verhältnis zu seiner Querschnittsfläche A sehr groß, so besteht die Gefahr des seitlichen Ausknickens. Das kann geschehen, obwohl der Stab genau in Richtung seiner Achse belastet wird und obwohl die Druckspannung sd noch unter der Proportionalitätsgrenze sdP liegt. Die Tragfähigkeit ist also schon vorher erschöpft. Knickung ist daher auch kein Spannungsproblem wie Zug, Druck, Biegung und Torsion, sondern ein Stabilitätsproblem: Trotz gleicher Querschnittsfläche A und gleicher Druckkraft F steigt die Gefahr des Ausknickens mit zunehmender Länge l. Die besondere Problematik der Knickung hat zur Definition besonderer Größen geführt. Knickkraft FK ist diejenige Kraft, bei der das Ausknicken eines Stabes gerade beginnt. Dividiert man die Knickkraft FK durch die Querschnittsfläche A, erhält man eine Spannung, die als Knickspannung sK bezeichnet wird. Entsprechend der Definition von FK herrscht die Knickspannung sK dann, wenn der Stab auszuknicken beginnt. Da ein Bauteil nicht ausknicken darf, ist dafür zu sorgen, dass die tatsächliche Belastung, die Druckkraft F, immer wesentlich kleiner bleibt als die Knickkraft FK. Das gleiche gilt dann auch für die tatsächlich im Bauteil vorhandene Druckspannung sd vorh und für die Knickspannung sK. Immer muss sd vorh < sK sein. Knickkraft FK und Knickspannung sK sind also Größen, die niemals erreicht werden dürfen. Beispiele knickgefährdeter Bauteile aus dem Maschinenbau: Pleuelstangen, Kolbenstangen, Stößel, Spindeln von Pressen, Bremsgestänge zunehmende Länge bedeutet zunehmende Knickgefahr A F l A F l A F l Neue Größen sind: Knickkraft FK, Knickspannung sK, Trägheitsradius i, Schlankheitsgrad l (Lambda) A F l Knickkraft FK Knickspannung sK ¼ Querschnittsfläche A sK ¼ FK A Sicherheit gegen Knicken ðKnicksicherheit vÞ v ¼ FK F ¼ sK sd vorh sK FK A N mm 2 N mm 2 Knickkraft FK v ¼ Druckkraft F v 3 ...10 im Maschinenbau
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5.10 Beanspruchung auf Knickung 351<br />
5.10 Beanspruchung auf Knickung<br />
5.10.1 Grundbegriffe<br />
Ist bei der Beanspruchung auf Druck der Stab sehr<br />
schlank, d. h. ist die Stablänge l im Verhältnis zu<br />
seiner Querschnittsfläche A sehr groß, so besteht<br />
die Gefahr des seitlichen Ausknickens. Das kann<br />
geschehen, obwohl der Stab genau in Richtung<br />
seiner Achse belastet wird und obwohl die Druckspannung<br />
sd noch unter der Proportionalitätsgrenze<br />
sdP liegt. Die Tragfähigkeit ist also schon<br />
vorher erschöpft. Knickung ist daher auch kein<br />
Spannungsproblem wie Zug, Druck, Biegung und<br />
Torsion, sondern ein Stabilitätsproblem: Trotz gleicher<br />
Querschnittsfläche A und gleicher Druckkraft<br />
F steigt die Gefahr des Ausknickens mit zunehmender<br />
Länge l.<br />
Die besondere Problematik der Knickung hat zur<br />
Definition besonderer Größen geführt.<br />
Knickkraft FK ist diejenige Kraft, bei der das Ausknicken<br />
eines Stabes gerade beginnt. Dividiert<br />
man die Knickkraft FK durch die Querschnittsfläche<br />
A, erhält man eine Spannung, die als Knickspannung<br />
sK bezeichnet wird. Entsprechend der<br />
Definition von FK herrscht die Knickspannung sK<br />
dann, wenn der Stab auszuknicken beginnt.<br />
Da ein Bauteil nicht ausknicken darf, ist dafür zu<br />
sorgen, dass die tatsächliche Belastung, die Druckkraft<br />
F, immer wesentlich kleiner bleibt als die<br />
Knickkraft FK. Das gleiche gilt dann auch für die<br />
tatsächlich im Bauteil vorhandene Druckspannung<br />
sd vorh und für die Knickspannung sK. Immer muss<br />
sd vorh < sK sein. Knickkraft FK und Knickspannung<br />
sK sind also Größen, die niemals erreicht<br />
werden dürfen.<br />
Beispiele knickgefährdeter Bauteile aus dem<br />
Maschinenbau:<br />
Pleuelstangen, Kolbenstangen, Stößel,<br />
Spindeln von Pressen, Bremsgestänge<br />
zunehmende Länge bedeutet<br />
zunehmende Knickgefahr<br />
A<br />
F<br />
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A<br />
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Neue Größen sind:<br />
Knickkraft FK, Knickspannung sK, Trägheitsradius<br />
i, Schlankheitsgrad l (Lambda)<br />
A<br />
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Knickkraft FK<br />
Knickspannung sK ¼<br />
Querschnittsfläche A<br />
sK ¼ FK<br />
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Sicherheit gegen Knicken<br />
ðKnicksicherheit vÞ<br />
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Druckkraft F<br />
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