Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

5.9 Beanspruchung auf Biegung 349
5.9.10 Ûbungen zur Durchbiegungsgleichung
1. Ûbung: Freiträger mit Einzellast
Für den skizzierten Freiträger mit Einzellast hat
die Momentenfläche die Form eines Dreiecks. Mit
der Balkenlänge l und der Dreieckshöhe Mb max
¼ Fl lässt sich der Flächeninhalt AM ausdrücken.
Der Schwerpunktsabstand der Dreieckfläche beträgt
x0 ¼ 2l=3. Mit den Beziehungen für Mb max,
AM und x0 erhält man aus der allgemeinen Durchbiegungsgleichung
die spezielle Durchbiegungsgleichung
und die Gleichung zur Berechnung des
Neigungswinkels a für die Endtangente.
2. Ûbung: Freiträger mit konstanter Streckenlast
Die Momentenfläche beim Freiträger mit konstanter
Streckenlast wird von einer Parabel begrenzt
(siehe 5.9.7.3, Seite 335). Der Flächeninhalt AM ist
gleich einem Drittel der umschriebenen Rechteckfläche:
AM ¼ Mb max l=3. Der Schwerpunktsabstand
beträgt x0 ¼ 3l=4 (Formelsammlung).
Das maximale Biegemoment ist hier halb so groß
wie beim Freiträger mit Einzellast, also Mbmax ¼
Fl=2, mit der Resultierenden aus der Streckenlast
F ¼ F 0 l.
Damit erhält man wie in der 1. Ûbung die spezielle
Durchbiegungsgleichung und die Gleichung für
den Neigungswinkel a der Endtangente an die
Biegelinie.
3. Ûbung: Stützträger mit Einzellast in Trägermitte
Zur Herleitung einer Gleichung für die maximale
Durchbiegung f in Trägermitte darf nur mit der
Momentenfläche bis zur Stelle der größten Durchbiegung
gerechnet werden. Das ist zugleich die
Mb max-Stelle, mit Mb max ¼ðF=2Þ ðl=2Þ ¼Fl=4
(siehe 5.9.7.5, Seite 337). Der Schwerpunktsabstand
der Momentenfläche AM (Dreieckfläche) beträgt
x0 ¼ l=3.
f ¼ 1
EI AM x0; AM ¼ Mb max
l l Fl2
¼ Fl ¼
2 2 2
f ¼ 1
EI
Fl2 2
2
3 l
f ¼ Fl3
3EI
tan a ¼ f
x0
¼ Fl2
2EI
f ¼ 1
EI AM x0 ; AM ¼ 1
3 Mbmaxl ¼ 1
3
f ¼ 1
EI
f ¼ Fl3
8EI
Fl 2
6
3
4 l
tan a ¼ f
x0
¼ Fl2
6EI
Fl
2 l