Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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Das Produkt Mx s (Biegemoment mal Teillänge s an
der Trägerstelle x) ist im Bild der Momentenfläche
das Teilstück DAM der gesamten Momentenfläche
AM. Aus der Schwerpunktslehre (2.2, Seite 77) ist
bekannt, dass die Summe der Momente der Teilflächen
gleich dem Moment der Gesamtfläche ist.
Mit x0 als Schwerpunktsabstand der gesamten
Momentenfläche (hier Dreieckfläche) ergibt sich
abschließend die allgemeine Durchbiegungsgleichung.
Die Momentenfläche DAM ist das Produkt aus
dem Biegemoment Mx und der Teillänge s; folglich
hat AM die Einheit Nmm mm ¼ Nmm 2 .
5.9.9.3 Neigungswinkel der Biegelinie
Das Bild zur allgemeinen Durchbiegungsgleichung
zeigt, dass zwei dicht benachbarte Tangenten
an die Biegelinie den Winkel j einschließen.
Der Neigungswinkel a der Endtangente ist also
die Summe aller Winkel j. Die Gleichung
j ¼ s=r ist die Definitionsgleichung für den
Winkel j. Das Produkt Mxs ist gleich dem Flächeninhalt
der Teilfläche DAM; außerdem ist
SDAM ¼ AM.
Es ist bekannt, dass für kleine Winkel mit der
Einheit rad auch der Tangens des Winkels eingesetzt
werden kann. Damit ist die Endform für die
Gleichung des Neigungswinkels a gefunden. In
der zweiten Form dieser Beziehung hat man entsprechend
der allgemeinen Durchbiegungsgleichung
AM=EI ¼ f =x0 einzusetzen.
SMxsx ¼ SDAMx ¼ AM x0
f ¼ 1
EI AMx0
Allgemeine Durchbiegungsgleichung
f E I AM x0
mm
N
mm 2 mm4 Nmm 2 mm
Bogenstück s
j ¼
Krümmungsradius r
a ¼ Sj ¼
P s
a ¼
EI
Mx
P s
r
r ¼ EI
eingesetzt
Mx
P sMx 1
¼ ¼
EI EI SMx s
a ¼ 1
EI SDAM ¼ 1
EI AM
a ¼ arc a ¼ tan a
tan a ¼ 1
EI AM
tan a ¼ f
x0
5 Festigkeitslehre
Neigung der Endtangente
an die Biegelinie