Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
346 5.9.9 Formänderung bei Biegung 1) Wird ein Stab elastisch gebogen, dann behält nur die neutrale Faserschicht ihre ursprüngliche Länge bei, alle anderen Schichten verlängern oder verkürzen sich. Die in der neutralen Faserschicht liegende und vor dem Kraftangriff noch gerade Stabachse wird zur Biegelinie verformt. Dabei entsteht die Durchbiegung f. Die Endtangente t der Biegelinie liegt unter dem Neigungswinkel a. Beide Größen sind für die Konstruktion von Biegeträgern aller Art von Bedeutung, z. B. für Getriebewellen. Es sollen deshalb Berechnungsgleichungen für Durchbiegung und Neigung der Biegelinie entwickelt werden. Dabei geht man immer von einem Träger mit gleichbleibendem Querschnitt aus (Achse, -Träger). 5.9.9.1 Krümmungsradius, Krümmung Die beiden dicht beieinander liegenden Schnittufer 1 und 2, die vor der Verformung parallel zueinander lagen, stehen nun unter dem Winkel j zueinander geneigt. Ihre Fluchtlinien schneiden sich im Krümmungsmittelpunkt 0 und ergeben den Krümmungsradius r x an der untersuchten Trägerstelle x. Gegenüber dem kleinen Bogenstück s der Biegelinie hat sich die äußere Zugfaser um Ds verlängert. Mit dem Øhnlichkeitssatz erhält man die Proportion Ds=s ¼ e=r x . Geometrische Verhältnisse am einseitig eingespannten Biegeträger (Freiträger) mit Einzellast; Krümmung stark übertrieben gezeichnet. s þ Ds s ¼ rx þ e ðÄhnlichkeitssatzÞ r x 1 þ Ds e ¼ 1 þ s rx ) Ds e ¼ s rx 1) Formeln zur Berechnung der Stützkräfte, Momente und Durchbiegungungen bei Biegeträgern siehe A. Böge: Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, Verlag Vieweg+ Teubner. 5 Festigkeitslehre
5.9 Beanspruchung auf Biegung 347 Mit dem Hooke’schen Gesetz, hier also mit sx ¼ eE, ergibt sich aus der Ausgangsproportion Ds=s ¼ e=r x eine Beziehung für den Krümmungsradius r x an der untersuchten Trägerstelle x. Darin ist sx die zwischen den Schnittufern herrschende Biegespannung. Schreibt man die Biegehauptgleichung in der Form sb ¼ Mb e=I nach 5.9.5 (Seite 332), dann lassen sich Biegespannung sx und Randfaserabstand e durch die Größen Biegemoment Mx und axiales Flächenmoment 2. Grades I ersetzen. Der Kehrwert des Krümmungsradius wird als Krümmung kx bezeichnet. 5.9.9.2 Allgemeine Durchbiegungsgleichung Durch die Neigung der einzelnen Querschnitte entsteht am Trägerende die Durchbiegung f. Werden in den Punkten 1 und 2 an die Biegelinie die Tangenten angelegt, so schließen sie ebenso wie die Krümmungsradien r x den Winkel j ein. Die Tangenten schneiden auf der Vertikalen am Trägerende (Wirklinie von F) von der gesamten Durchbiegung f das stark übertrieben gezeichnete Stück D f ab. Es ist also f ¼ SDf : Aus der Øhnlichkeit der schraffierten Dreiecke an der Biegelinie ergibt sich die Proportion s=r x ¼ D f =x. Für den Krümmungsradius r x kann die oben hergeleitete Beziehung eingesetzt werden. Werden noch die Teillängen D f summiert, dann findet man die gesuchte Gleichung für die gesamte Durchbiegung f . Elastizitätsmodul E und Flächenmoment 2. Grades I sind Konstante, sie können also vor das Summenzeichen S gezogen werden. Ds ¼ Dehnung e ðsiehe 5:2:3:1; Seite 281Þ s e ¼ sx E Hooke0sches Gesetz nach 5:2:3:4Þ Ds e ¼ ¼ s rx sx E und daraus r eE x ¼ sx r x ¼ eE sx r x ¼ EI Mx Krümmungsradius kx ¼ 1 ¼ rx Mx EI r x 1 ϕ r x s s sx ¼ Mx e e ) ¼ I sx I Mx 2 ϕ Krümmung x Biegelinie F f Beachte: Nur im Grenzfall sind die beiden schraffierten Dreiecke ähnlich. s r x D f sx ¼ ) D f ¼ x rx D f ¼ sxMx EI ¼ 1 EI Mx sx f ¼ SDf ¼ S 1 EI Mx sx f ¼ 1 EI SMx sx r x E I Mx mm N mm 2 mm4 Nmm f α
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5.9 Beanspruchung auf Biegung 347<br />
Mit dem Hooke’schen Gesetz, hier also mit<br />
sx ¼ eE, ergibt sich aus der Ausgangsproportion<br />
Ds=s ¼ e=r x eine Beziehung für den Krümmungsradius<br />
r x an der untersuchten Trägerstelle x.<br />
Darin ist sx die zwischen den Schnittufern herrschende<br />
Biegespannung.<br />
Schreibt man die Biegehauptgleichung in der<br />
Form sb ¼ Mb e=I nach 5.9.5 (Seite 332), dann<br />
lassen sich Biegespannung sx und Randfaserabstand<br />
e durch die Größen Biegemoment Mx und<br />
axiales Flächenmoment 2. Grades I ersetzen.<br />
Der Kehrwert des Krümmungsradius wird als<br />
Krümmung kx bezeichnet.<br />
5.9.9.2 Allgemeine Durchbiegungsgleichung<br />
Durch die Neigung der einzelnen Querschnitte entsteht<br />
am Trägerende die Durchbiegung f. Werden<br />
in den Punkten 1 und 2 an die Biegelinie die Tangenten<br />
angelegt, so schließen sie ebenso wie die<br />
Krümmungsradien r x den Winkel j ein. Die Tangenten<br />
schneiden auf der Vertikalen am Trägerende<br />
(Wirklinie von F) von der gesamten Durchbiegung<br />
f das stark übertrieben gezeichnete Stück D f<br />
ab. Es ist also f ¼ SDf :<br />
Aus der Øhnlichkeit der schraffierten Dreiecke an<br />
der Biegelinie ergibt sich die Proportion<br />
s=r x ¼ D f =x. Für den Krümmungsradius r x kann<br />
die oben hergeleitete Beziehung eingesetzt werden.<br />
Werden noch die Teillängen D f summiert,<br />
dann findet man die gesuchte Gleichung für die<br />
gesamte Durchbiegung f . Elastizitätsmodul E und<br />
Flächenmoment 2. Grades I sind Konstante, sie<br />
können also vor das Summenzeichen S gezogen<br />
werden.<br />
Ds<br />
¼ Dehnung e ðsiehe 5:2:3:1; Seite 281Þ<br />
s<br />
e ¼ sx<br />
E Hooke0sches Gesetz nach 5:2:3:4Þ<br />
Ds e<br />
¼ ¼<br />
s rx sx<br />
E und daraus r eE<br />
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Biegelinie<br />
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Beachte: Nur im Grenzfall sind die beiden<br />
schraffierten Dreiecke ähnlich.<br />
s<br />
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