Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

5.9 Beanspruchung auf Biegung 347
Mit dem Hooke’schen Gesetz, hier also mit
sx ¼ eE, ergibt sich aus der Ausgangsproportion
Ds=s ¼ e=r x eine Beziehung für den Krümmungsradius
r x an der untersuchten Trägerstelle x.
Darin ist sx die zwischen den Schnittufern herrschende
Biegespannung.
Schreibt man die Biegehauptgleichung in der
Form sb ¼ Mb e=I nach 5.9.5 (Seite 332), dann
lassen sich Biegespannung sx und Randfaserabstand
e durch die Größen Biegemoment Mx und
axiales Flächenmoment 2. Grades I ersetzen.
Der Kehrwert des Krümmungsradius wird als
Krümmung kx bezeichnet.
5.9.9.2 Allgemeine Durchbiegungsgleichung
Durch die Neigung der einzelnen Querschnitte entsteht
am Trägerende die Durchbiegung f. Werden
in den Punkten 1 und 2 an die Biegelinie die Tangenten
angelegt, so schließen sie ebenso wie die
Krümmungsradien r x den Winkel j ein. Die Tangenten
schneiden auf der Vertikalen am Trägerende
(Wirklinie von F) von der gesamten Durchbiegung
f das stark übertrieben gezeichnete Stück D f
ab. Es ist also f ¼ SDf :
Aus der Øhnlichkeit der schraffierten Dreiecke an
der Biegelinie ergibt sich die Proportion
s=r x ¼ D f =x. Für den Krümmungsradius r x kann
die oben hergeleitete Beziehung eingesetzt werden.
Werden noch die Teillängen D f summiert,
dann findet man die gesuchte Gleichung für die
gesamte Durchbiegung f . Elastizitätsmodul E und
Flächenmoment 2. Grades I sind Konstante, sie
können also vor das Summenzeichen S gezogen
werden.
Ds
¼ Dehnung e ðsiehe 5:2:3:1; Seite 281Þ
s
e ¼ sx
E Hooke0sches Gesetz nach 5:2:3:4Þ
Ds e
¼ ¼
s rx sx
E und daraus r eE
x ¼
sx
r x ¼ eE
sx
r x ¼ EI
Mx
Krümmungsradius
kx ¼ 1
¼
rx Mx
EI
r x
1
ϕ
r x
s
s
sx ¼ Mx e e
) ¼
I sx
I
Mx
2
ϕ
Krümmung
x
Biegelinie
F
f
Beachte: Nur im Grenzfall sind die beiden
schraffierten Dreiecke ähnlich.
s
r x
D f sx
¼ ) D f ¼
x rx D f ¼ sxMx
EI
¼ 1
EI Mx sx
f ¼ SDf ¼ S 1
EI Mx sx
f ¼ 1
EI SMx sx
r x E I Mx
mm
N
mm 2 mm4 Nmm
f
α