Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

5.9 Beanspruchung auf Biegung 343
5.9.8 Träger gleicher Biegespannung
5.9.8.1 Allgemeine Anformungsgleichung
Hat ein Biegeträger durchgehend gleichen Querschnitt
(W ¼ konstant), dann hat im Normalfall
jeder Querschnitt eine andere Biegespannung sb.
Die Maximalspannung sb max tritt nur in dem
Querschnitt auf, der das maximale Biegemoment
zu übertragen hat.
Durch die so genannte Anformung erreicht man,
dass jeder Querschnitt gerade so groß wird, wie es
zur Aufnahme der zulässigen Biegespannung sbzul
erforderlich ist. Man hat dann einen Träger gestaltet,
der in allen Querschnitten die gleiche Biegespannung
aufweist.
Für jeden beliebigen Querschnitt x gilt die Biege-
Hauptgleichung sbx ¼ Mbx=Wx, mit Biegemoment
Mbx und dem Widerstandsmoment Wx. Gleiche
Biegespannung sbx ¼ sb zul werden dann erreicht,
wenn dafür gesorgt wird, dass überall der Quotient
Mbx=Wx gleich groß ist. Diese Bedingung führt zur
Anformungsgleichung in der allgemeinen Form.
5.9.8.2 Achsen und Wellen
Am Beispiel einer Radachse von kreisförmigem
Querschnitt wird die Anformung von Achsen und
Wellen erläutert:
Die Einspannstelle hat das maximale Biegemoment
Mb max ¼ Fl zu übertragen und der (beliebige)
Querschnitt x x das Biegemoment Mbx ¼ Flx.
Die Anformung erfordert, dass der Quotient aus
Biegemoment Mb und Widerstandsmoment W in
allen Querschnitten gleich groß bleibt.
Für die Mbmax-Stelle gilt Mb max=Wmax ¼ sbzul,für
jede beliebige Stelle Mbx=Wx ¼ sbzul, so dass man
beide Quotienten gleichsetzen kann.
Beim Kreisquerschnitt gilt für das axiale Widerstandsmoment
W ¼ 0,1d 3 . Wird dieser Ausdruck
in die Ausgangsgleichung eingesetzt und außerdem
die beiden Biegemomente durch Fl und Flx
ersetzt, dann erhält man die gesuchte Anformungsgleichung
für Achsen und Wellen mit kreisförmigem
Querschnitt.
sbx ¼ Mbx
¼ sb zul ¼ konstant
Wx
Mbx1
¼
Wx1
Mbx2
¼ ...¼ konstant
Wx2
Anformungsgleichung, allgemeine Form
Mbmax
Wmax
Fl
Flx
¼ Mbx
)
Wx
Mbmax
¼
Mbx
Wmax
Wx
¼ 0,1d 3 max
0,1dx 3
dx ¼ dmax
rffiffiffi
3
lx
l
l
lx
¼ d 3 max
dx 3
Anformungsgleichung für Achsen und Wellen