Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
338 Das Querkraftschaubild (Fq, x-Diagramm) wird wie beim Freiträger maßstäblich aufgezeichnet: Von A nach B fortschreitend trägt man die aus dem Lageplan erkennbaren Kräfte aneinander. Es ergeben sich zwei gleich große Rechteckflächen über und unter der Nulllinie: Das Biegemoment M bðxÞ in jedem Trägerquerschnitt entspricht der Fläche links oder rechts vom Schnitt. Das größte Biegemoment Mbmax liegt dort, wo die Querkraftlinie durch die Nulllinie geht. Geht die Querkraftlinie mehrfach durch null, muss für alle Nulldurchgänge das Biegemoment berechnet und so Mb max bestimmt werden. Greift die Einzelkraft in der Mitte des Trägers an, dann wird mit FA ¼ FB ¼ F=2 und l1 ¼ l=2 das maximale Biegemoment Mb max ¼ðF=2Þðl=2Þ¼ Fl=4. 5.9.7.6 Stützträger (Kragträger) mit mehreren Einzellasten Die Querkraftfläche im Fq, x-Diagramm zeigt zwei Nulldurchgänge (1 und 2). Um festzustellen, welche der beiden Querschnittsstellen das maximale Biegemoment Mbmax zu übertragen hat, führt man eine Vergleichsrechnung durch (ohne Berücksichtigung der Vorzeichen). Fq, x-Diagramm Mb max ¼b Aq Mb max ¼ FAl1 FBðl l1Þ FA ¼ 4000 N FB ¼ 2000 N Maximales Biegemoment Mb max ¼ FAl1 ¼ 4000 N 2m¼ 8000 Nm Mb max ¼ FBðl l1Þ ¼2000N 4m¼ 8000Nm Beachte: Beim Stützträger mit Einzellast wirkt Mb max dort, wo die Einzelkraft angreift. Berechnet wird Mb max aus der Querkraftfläche rechts oder links vom Nulldurchgang. Nulldurchgang 1: Mb1 ¼b Aq1 ¼b FAl1 Mb1 ¼ 9,583 kN 2,5 m Mb1 ¼ 23,958 kNm 5 Festigkeitslehre
5.9 Beanspruchung auf Biegung 339 Das Biegemoment Mb1 erhält man am einfachsten über die Rechteckfläche links vom Nulldurchgang 1. Zur Mb2-Berechnung wird die Fläche rechts vom Nulldurchgang 2 genommen. Die Rechnung zeigt: Das größte Biegemoment tritt im Nulldurchgang 2 auf. Mb2 ¼ 40 kNm > Mb1 ¼ 23,958 kNm. Damit hat man die Mb max-Stelle und den Betrag des maximalen Biegemoments gefunden. Zur Kontrolle kann die Fläche links vom Nulldurchgang 2 berechnet werden. Die algebraische Summe der Flächeninhalte Aq1 und Aq3 muss gleich dem Flächeninhalt Aq2 sein. Begründung: Das Biegemoment Mb2 im linken Schnittufer des Querschnitts 2 muss gleich dem Biegemoment im rechten Schnittufer sein. Die beiden Beträge haben entgegengesetztes Vorzeichen ( 40 kNm, þ40 kNm), weil für den Schwerpunkt des Querschnitts SM ¼ 0 erfüllt sein muss. M bðxÞ-Diagramm Die Trägerstelle mit M bðxÞ ¼ 0 liegt zwischen den Lagerpunkten A und B. Für diese Schnittstelle muss die Summe der Querkraftflächen Aq1 und A qðxÞ gleich null sein. Nulldurchgang 2: Mb2 ¼b Aq2 ¼b F3l2 Mb2 ¼ 20 kN 2m Mb2 ¼ 40 kNm Mb max ¼ Mb2 ¼ F3l2 Mb max ¼ 40 kNm Mb2 ¼ FAl1 ðF1 FAÞðl l1Þ F2l3 ¼ð9,583 2,5 ð25 9,583Þ 3,5 10 1Þ kNm Mb2 ¼ 40 kNm Mb2 þ Mb2 ¼ 0 Mb2 ¼ Mb2 Zum Aufzeichnen des Mb, x-Diagramms werden die Biegemomente an den Lastangriffsstellen berechnet: Für x ¼ l1 ist: MbðxÞ ¼ FAl1 ¼ 9,583 kN 2,5 m ¼ 23,958 kNm Für x ¼ l l3 ist: MbðxÞ ¼ F4ðl l3ÞþF1ðl l3 l1Þ ¼ 9,583 kN 5mþ 25 kN 2,5 m ¼ 14,585 kNm Für x ¼ l ist: Mb2 ¼ FAl þ F1ðl l1ÞþF2l3 ¼ 9,583 kN 6mþ 25 kN 3,5 m þ 10 kN 1m ¼ 40 kNm ¼ Mb max Aq1 ¼ AqðxÞ FAl1 ¼ðx l1ÞðF1 FAÞ x ¼ FAl1 9,583 kN 2,5 m þ l1 ¼ þ 2,5 m F1 FA 25 kN 9,583 kN x ¼ 4,059 m
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- Seite 313 und 314: 5.5 Flächenpressung 293 5.5.6 Ûbu
- Seite 315 und 316: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 295
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- Seite 323 und 324: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
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5.9 Beanspruchung auf Biegung 339<br />
Das Biegemoment Mb1 erhält man am einfachsten<br />
über die Rechteckfläche links vom Nulldurchgang<br />
1. Zur Mb2-Berechnung wird die Fläche rechts<br />
vom Nulldurchgang 2 genommen.<br />
Die Rechnung zeigt:<br />
Das größte Biegemoment tritt im Nulldurchgang 2<br />
auf. Mb2 ¼ 40 kNm > Mb1 ¼ 23,958 kNm. Damit<br />
hat man die Mb max-Stelle und den Betrag des<br />
maximalen Biegemoments gefunden.<br />
Zur Kontrolle kann die Fläche links vom Nulldurchgang<br />
2 berechnet werden. Die algebraische<br />
Summe der Flächeninhalte Aq1 und Aq3 muss<br />
gleich dem Flächeninhalt Aq2 sein.<br />
Begründung: Das Biegemoment Mb2 im linken<br />
Schnittufer des Querschnitts 2 muss gleich dem<br />
Biegemoment im rechten Schnittufer sein.<br />
Die beiden Beträge haben entgegengesetztes Vorzeichen<br />
( 40 kNm, þ40 kNm), weil für den<br />
Schwerpunkt des Querschnitts SM ¼ 0 erfüllt sein<br />
muss.<br />
M bðxÞ-Diagramm<br />
Die Trägerstelle mit M bðxÞ ¼ 0 liegt zwischen den<br />
Lagerpunkten A und B. Für diese Schnittstelle<br />
muss die Summe der Querkraftflächen Aq1 und<br />
A qðxÞ gleich null sein.<br />
Nulldurchgang 2:<br />
Mb2 ¼b Aq2 ¼b F3l2<br />
Mb2 ¼ 20 kN 2m<br />
Mb2 ¼ 40 kNm<br />
Mb max ¼ Mb2 ¼ F3l2<br />
Mb max ¼ 40 kNm<br />
Mb2 ¼ FAl1 ðF1 FAÞðl l1Þ F2l3<br />
¼ð9,583 2,5 ð25 9,583Þ 3,5 10 1Þ kNm<br />
Mb2 ¼ 40 kNm<br />
Mb2 þ Mb2 ¼ 0<br />
Mb2 ¼ Mb2<br />
Zum Aufzeichnen des Mb, x-Diagramms<br />
werden die Biegemomente an den Lastangriffsstellen<br />
berechnet:<br />
Für x ¼ l1 ist:<br />
MbðxÞ ¼ FAl1 ¼ 9,583 kN 2,5 m<br />
¼ 23,958 kNm<br />
Für x ¼ l l3 ist:<br />
MbðxÞ ¼ F4ðl l3ÞþF1ðl l3 l1Þ<br />
¼ 9,583 kN 5mþ 25 kN 2,5 m<br />
¼ 14,585 kNm<br />
Für x ¼ l ist:<br />
Mb2 ¼ FAl þ F1ðl l1ÞþF2l3<br />
¼ 9,583 kN 6mþ 25 kN 3,5 m þ 10 kN 1m<br />
¼ 40 kNm ¼ Mb max<br />
Aq1 ¼ AqðxÞ FAl1 ¼ðx l1ÞðF1 FAÞ<br />
x ¼ FAl1 9,583 kN 2,5 m<br />
þ l1 ¼ þ 2,5 m<br />
F1 FA 25 kN 9,583 kN<br />
x ¼ 4,059 m