Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

5.9 Beanspruchung auf Biegung 331
Die Teilkraft DF wirkt in Bezug auf die x-Achse
drehend am Hebelarm y, sie erzeugt also ein „kleines“
Innenmoment DMi ¼ DFy.
Die Spannung s ändert ihren Betrag mit dem Abstand
y. Für die Hauptgleichung braucht man die
Randfaserspannung smax, weil sie den Werkstoff
am stärksten beansprucht. Es wird daher s durch
die aus dem Spannungsbild abgelesene Beziehung
s ¼ smax y=e ersetzt.
Die Summe der kleinen Innenmomente DMi hält
dem einwirkenden Biegemoment Mb das Gleichgewicht.
Die gleichbleibenden Größen smax und Randfaserabstand
e können vor das Summenzeichen gesetzt
werden.
Der Summenausdruck SDAy 2 ist das schon bekannte
axiale Flächenmoment 2. Grades I, der
Ausdruck I=e ist das axiale Widerstandsmoment W.
Die gefundene Gleichung löst man nach der Spannung
auf und erhält so die gesuchte Biege-Hauptgleichung.
Biegemoment Mb
Biegespannung sb ¼
axialesWiderstandsmoment W
Hat man aus Biegemoment und zulässiger
Biegespannung das erforderliche axiale Widerstandsmoment
Werf berechnet, können mit den
Gleichungen aus Tabelle 5.1, Seite 309, die Querschnittsmaße
festgelegt werden.
Bei Trägern mit konstantem Querschnitt, z. B. bei
allen Profilstählen, reicht die Bestimmung des
maximalen Biegemomentes aus. Dagegen ist es
bei abgesetzten Bauteilen nötig, das Biegemoment
für sämtliche Ûbergangsstellen zu ermitteln und zu
garantieren, dass sb vorh sbzulist. DMi ¼ DFy ¼ DAs y
DMi ¼ DAs y ¼ DAsmax
DMi ¼ smax
e DAy2
y
e y
Mb ¼ SDMi ¼ S smax
e DAy2
Mb ¼ smax
e SDAy2
I
Mb ¼ sb ¼ sbW
e
Hinweis: Nur wegen der einfacheren Schreibweise
wird sb, statt smax geschrieben. sb ist
also immer die Randfaserspannung, die
größte Spannung im Querschnitt.
sb ¼ Mb
W
Biege-Hauptgleichung
Je nach vorliegender Aufgabe wird die Biege-
Hauptgleichung umgestellt:
Werf ¼ Mb max
sbzul
sb vorh ¼ Mb max
W
Mb max ¼ Wsb zul
erforderliches
Widerstandsmoment
sb zul
sb Mb W
N
Nmm mm3
mm2 vorhandene
Spannung
maximales
Biegemoment