Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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Zwischen den oberen (gestauchten) und den unteren
(gestreckten) Stoffteilchen muss eine Faserschicht
liegen, die sich weder verkürzt noch verlängert,
die ihre Länge also beibehält. Das ist die
„neutrale Faserschicht“, bei der e ¼ 0 ist. Sie
geht durch den Schwerpunkt SP der Schnittfläche.
Nach dem Hooke’schen Gesetz sind im elastischen
Bereich die Spannungen ebenso verteilt wie die
Formänderungen. Wie die Längenänderung wächst
auch die Spannung von der neutralen Faserschicht
(Nulllinie) nach oben und unten gleichmäßig. Die
Spannung verteilt sich linear. Die neutrale Faserschicht
ist unverformt, also auch spannungslos.
Die Spannung wächst mit dem Abstand y von der
neutralen Faser bis zum Höchstwert þsmax (Zugspannung)
und smax (Druckspannung). Genau
wie bei der Torsion muss man also auch bei der
Biegung mit der Randspannung smax rechnen, wobei
die Unterscheidung zwischen þsmax als größter
Zugspannung und smax als größter Druckspannung
nur bei solchen Werkstoffen notwendig
ist, die auf Zug und Druck unterschiedlich reagieren,
z. B. Gusseisen.
Bei Biegung erhalten die Randfasern die stärkste
Beanspruchung, die neutrale Faserschicht
ist spannungslos, Bohrungen in Schwerpunktsnähe
schaden daher nicht. Biegespannungen
sind Zug- und Druckspannungen (Normalspannungen).
Sie sind linear über dem Querschnitt
verteilt.
5.9.4 Herleitung der Biege-Hauptgleichung
Das Flächenteilchen DA im Abstand y von der
x-Achse (Schwerachse) überträgt die rechtwinklig
auf dem Querschnitt stehende Teilkraft DF. Unter
der Annahme, dass die Spannung s gleichmäßig
über dem Flächenteilchen DA verteilt ist (wie bei
Zugbeanspruchung), kann man für DF ¼ DAs
schreiben.
Verformungsbild
Die Verformungen wachsen linear mit dem
Abstand von der neutralen Faserschicht.
Nach Hooke sind die Verformungen den
Spannungen proportional, also wachsen auch
die Spannungen linear mit dem Abstand von
der neutralen Faserschicht. Wie das Spannungsbild
zeigt, ist
s
¼ y
e
smax
Daraus ergibt sich für die Spannung s an
einer beliebigen Stelle:
s ¼ smax
y
e
5 Festigkeitslehre
Spannungsbild