Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
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Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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328 5.9 Beanspruchung auf Biegung 5.9.1 Spannungsarten und inneres Kräftesystem bei Biegeträgern Der skizzierte Stab wird durch die Kraft F auf Biegung beansprucht. Die vor der Belastung gerade Stabachse verformt sich zur Biegelinie. Auf Biegung beanspruchte gerade stabförmige Bauteile wie Achsen, Wellen, Hebel nennt man Träger oder auch Balken. An einer beliebigen Stelle der Trägerlänge l legt man den Schnitt x –x rechtwinklig zur Stabachse und bringt im Schnittflächenschwerpunkt dasjenige innere Kräftesystem an (Fq und Mb), das den Restteil I ins Gleichgewicht setzt. Nach der Berechnung der Stützkräfte FA ¼ 500 N und FB ¼ 1500 N ergibt die Untersuchung des Kräftegleichgewichts für Trägerteil I: SFy ¼ 0 ¼þFA Fq Fq ¼ FA ¼ 500 N SMðSPÞ ¼ 0 ¼ FA x þ Mb Mb ¼ FA x ¼ 500 N 1,2 m ¼ 600 Nm Der Querschnitt hat demnach wegen SFy ¼ 0 die in der Fläche liegende Querkraft Fq ¼ FA ¼ 500 N zu übertragen. Die Querkraft Fq ruft die Schubspannung t hervor. Aus SMðSPÞ ¼ 0 ergibt sich weiter, dass der Querschnitt noch das rechtwinklig zur Fläche wirkende Biegemoment Mb ¼ FA x ¼ 600 Nm zu übertragen hat. Die Lage der größten Durchbiegung fmax wird durch die Länge xm bestimmt: xm ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðl 2 l2 2 p Þ=3 ¼ 2,23 m Bei Biegung muss der Querschnitt eine Querkraft Fq und ein Biegemoment Mb übertragen. Das Biegemoment belastet den Querschnitt am stärksten; es erzeugt Biegespannungen sb: FA FA x = 1,2 m l =4m l 1 =3m l 2 =1m x F = 2000 N A B Biegelinie (l2 - l 2 )/3 = 2,23 m 2 fmax -Stelle x m = x xm F M b Mb SP SP Fq Fq 5 Festigkeitslehre F B Inneres Kräftesystem bei Biegung Hinweis: Das Biegemoment Mb ruft im Schnitt die Normalspannung s hervor, weil es dem in Normalenrichtung auf der Fläche stehenden Kräftepaar FN entspricht. Diese Normalspannung heißt Biegespannung sb und besteht aus Zug- und Druckspannungen, entsprechend den beiden Normalkräften FN (Zug- und Druckkraft). Hinweis: Bei langen Stäben ist der Einfluss der Querkraft gering, d. h. die Schubspannung t kann daher meist vernachlässigt werden. Bei kurzen, dicken Stäben ist zu prüfen, ob der Wert zulässig ist. F N F N

5.9 Beanspruchung auf Biegung 329 5.9.2 Bestimmung der Biegemomente und Querkräfte an beliebigen Trägerstellen Das Biegemoment Mb für eine beliebige Stelle längs des Biegeträgers erhält man als Momentensumme für die Schnittstelle am linken oder rechten Trägerteil; ebenso erhält man die Querkraft Fq als Kraftsumme an einem der beiden Teile. Am besten wird Schritt für Schritt nach folgendem Arbeitsplan vorgegangen: Arbeitsplan zur Biegemomenten- und Querkraftbestimmung: Freimachen des Bauteils (Biegeträger). 1. Schritt Bestimmung der Stützkräfte mit den drei statischen Gleichgewichtsbedingungen (SFx ¼ 0, SFy ¼ 0, SM ¼ 0). Momentensumme für die Schnittstelle bilden. Damit ergibt sich das dort vorhandene Biegemoment Mb. Kraftsumme für die Schnittstelle bilden (nur Querkräfte nehmen). Damit ergibt sich die dort vorhandene Querkraft Fq. Man schaut von der Schnittstelle aus nach links (oder rechts) und addiert die Momente. Das Ergebnis ist das Biegemoment Mb: Man schaut von der Schnittstelle aus nach links (oder rechts) und addiert die Querkräfte. Das Ergebnis ist die Querkraft Fq. 5.9.3 Spannungsverteilung im Trägerquerschnitt bei Biegung Die äußere Kraft F biegt den Träger nach unten durch. Die vorher gerade Trägerachse wird eine gekrümmte Linie, auch Biegelinie oder „elastische Linie“ genannt. Zwei vorher parallele Schnitte ab; cd stellen sich bei Biegebelastung schräg gegeneinander: a 0 b 0 , c 0 d 0 . Dabei werden die oberen Werkstoff-Fasern verkürzt (Stauchung e), die unteren dagegen verlängert (Dehnung þe), so wie es das Verformungsbild auf der folgenden Seite zeigt. 2.Schritt 3. Schritt 4. Schritt Hinweis: Dieser Merksatz veranschaulicht den dritten und vierten Schritt. Da sich Biegemoment und Querkraft längs des Trägers ändern, müssen mehrere Schnittstellen untersucht werden. Biegebeanspruchter Träger (Biegeträger)

5.9 Beanspruchung auf Biegung 329<br />

5.9.2 Bestimmung der Biegemomente und Querkräfte an beliebigen Trägerstellen<br />

Das Biegemoment Mb für eine beliebige Stelle längs des Biegeträgers erhält man als Momentensumme<br />

für die Schnittstelle am linken oder rechten Trägerteil; ebenso erhält man die Querkraft<br />

Fq als Kraftsumme an einem der beiden Teile. Am besten wird Schritt für Schritt nach<br />

folgendem Arbeitsplan vorgegangen:<br />

Arbeitsplan zur Biegemomenten- und Querkraftbestimmung:<br />

Freimachen des Bauteils (Biegeträger). 1. Schritt<br />

Bestimmung der Stützkräfte mit den drei statischen Gleichgewichtsbedingungen<br />

(SFx ¼ 0, SFy ¼ 0, SM ¼ 0).<br />

Momentensumme für die Schnittstelle bilden. Damit ergibt sich das dort<br />

vorhandene Biegemoment Mb.<br />

Kraftsumme für die Schnittstelle bilden (nur Querkräfte nehmen). Damit<br />

ergibt sich die dort vorhandene Querkraft Fq.<br />

Man schaut von der Schnittstelle aus nach links<br />

(oder rechts) und addiert die Momente. Das Ergebnis<br />

ist das Biegemoment Mb:<br />

Man schaut von der Schnittstelle aus nach links<br />

(oder rechts) und addiert die Querkräfte.<br />

Das Ergebnis ist die Querkraft Fq.<br />

5.9.3 Spannungsverteilung im Trägerquerschnitt bei Biegung<br />

Die äußere Kraft F biegt den Träger nach unten<br />

durch. Die vorher gerade Trägerachse wird eine<br />

gekrümmte Linie, auch Biegelinie oder „elastische<br />

Linie“ genannt.<br />

Zwei vorher parallele Schnitte ab; cd stellen sich<br />

bei Biegebelastung schräg gegeneinander: a 0 b 0 ,<br />

c 0 d 0 . Dabei werden die oberen Werkstoff-Fasern<br />

verkürzt (Stauchung e), die unteren dagegen verlängert<br />

(Dehnung þe), so wie es das Verformungsbild<br />

auf der folgenden Seite zeigt.<br />

2.Schritt<br />

3. Schritt<br />

4. Schritt<br />

Hinweis: Dieser Merksatz veranschaulicht<br />

den dritten und vierten Schritt. Da sich Biegemoment<br />

und Querkraft längs des Trägers<br />

ändern, müssen mehrere Schnittstellen untersucht<br />

werden.<br />

Biegebeanspruchter Träger (Biegeträger)

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