Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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5.9 Beanspruchung auf Biegung
5.9.1 Spannungsarten und inneres Kräftesystem bei Biegeträgern
Der skizzierte Stab wird durch die Kraft F auf Biegung
beansprucht. Die vor der Belastung gerade
Stabachse verformt sich zur Biegelinie.
Auf Biegung beanspruchte gerade stabförmige
Bauteile wie Achsen, Wellen, Hebel nennt man
Träger oder auch Balken.
An einer beliebigen Stelle der Trägerlänge l legt
man den Schnitt x –x rechtwinklig zur Stabachse
und bringt im Schnittflächenschwerpunkt dasjenige
innere Kräftesystem an (Fq und Mb), das den
Restteil I ins Gleichgewicht setzt.
Nach der Berechnung der Stützkräfte FA ¼ 500 N
und FB ¼ 1500 N ergibt die Untersuchung des
Kräftegleichgewichts für Trägerteil I:
SFy ¼ 0 ¼þFA Fq Fq ¼ FA ¼ 500 N
SMðSPÞ ¼ 0 ¼ FA x þ Mb
Mb ¼ FA x ¼ 500 N 1,2 m ¼ 600 Nm
Der Querschnitt hat demnach wegen SFy ¼ 0 die
in der Fläche liegende Querkraft Fq ¼ FA ¼ 500 N
zu übertragen. Die Querkraft Fq ruft die Schubspannung
t hervor.
Aus SMðSPÞ ¼ 0 ergibt sich weiter, dass der Querschnitt
noch das rechtwinklig zur Fläche wirkende
Biegemoment Mb ¼ FA x ¼ 600 Nm zu übertragen
hat.
Die Lage der größten Durchbiegung fmax wird
durch die Länge xm bestimmt:
xm ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðl 2 l2 2 p
Þ=3 ¼ 2,23 m
Bei Biegung muss der Querschnitt eine Querkraft
Fq und ein Biegemoment Mb übertragen.
Das Biegemoment belastet den Querschnitt am
stärksten; es erzeugt Biegespannungen sb:
FA
FA
x = 1,2 m
l =4m
l 1 =3m l 2 =1m
x
F = 2000 N
A B
Biegelinie
(l2 - l 2 )/3 = 2,23 m
2
fmax -Stelle
x m =
x
xm F
M b Mb
SP SP
Fq Fq
5 Festigkeitslehre
F B
Inneres Kräftesystem bei Biegung
Hinweis: Das Biegemoment Mb ruft im
Schnitt die Normalspannung s hervor, weil
es dem in Normalenrichtung auf der Fläche
stehenden Kräftepaar FN entspricht. Diese
Normalspannung heißt Biegespannung sb
und besteht aus Zug- und Druckspannungen,
entsprechend den beiden Normalkräften FN
(Zug- und Druckkraft).
Hinweis: Bei langen Stäben ist der Einfluss
der Querkraft gering, d. h. die Schubspannung
t kann daher meist vernachlässigt werden.
Bei kurzen, dicken Stäben ist zu prüfen,
ob der Wert zulässig ist.
F N
F N