Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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5.8.3 Formänderung bei Torsion
Zwei benachbarte Querschnitte einer Welle werden
durch Torsionsbeanspruchung gegeneinander verdreht.
Bringt man vor der Verformung auf der Welle
mit der Wellenlänge l den Kreidestrich AB an,
dann wird daraus nach der Verformung die Schraubenlinie
AC. Zugleich dreht sich der Radius OB
um den Kreismittelpunkt O in die Stellung OC,
das heißt, die beiden Stirnflächen der Welle haben
sich um den Verdrehwinkel j gegeneinander verdreht.
Die stärkste Verformung zeigt die Randfaser: Das
Stoffteilchen in B durchläuft die Formänderung b
(Bogen BC _
).
Im Bereich der elastischen Formänderung gilt
auch bei Torsion das Hooke’sche Gesetz, in das
die entsprechenden Größen der Torsionsbeanspruchung
eingesetzt werden. Man setzt für
Zugspannung s ) Torsionsspannung tt
Formänderung Dl ) Formänderung b
Stablänge l0 ) Wellenlänge l
Stoffkonstante E ) Stoffkonstante G
(Elastizitätsmodul) (Schubmodul)
Das Bogenstück BC _
¼ b ist vom Radius r abhängig.
Es ist einfacher, mit dem Verdrehwinkel j in
Grad zu rechnen. Zwischen b und j besteht eine
Beziehung, die man aus der Skizze für die Formänderung
(oben) ablesen kann.
Es wird nun in die Gleichung j ¼ b 180 =pr der
Wert b ¼ tt l=G nach dem Hooke’schen Gesetz
eingesetzt.
Für tt kann man auch tt ¼ MT=Wp und für
Wp r ¼ Ip einsetzen und damit drei Formänderungsgleichungen
für Torsionsbeanspruchung entwickeln.
Man erkennt aus den Gleichungen, dass bei Stahlwellen
der Verdrehwinkel j unabhängig von der
Werkstoffgüte ist, denn der Schubmodul G ist für
alle Stahlsorten gleich groß (siehe Tabelle 5.8,
Seite 385).
tt ¼ b
l G , s ¼ Dl
E
l0
Hooke’sches
Gesetz für
Torsion
Hooke’sches
Gesetz für
Zug/Druck
Formänderung
bei Torsionsbeanspruchung
Beachte: Der Schubmodul G entspricht
dem Elastizitätsmodul (siehe Tabelle 5.8,
Seite 385) und Abschnitt 5.6.2, Seite 297):
GStahl ¼ 80000 N/mm 2
EStahl ¼ 210000 N/mm 2
b j
¼
2pr 360
b 360
j ¼
2pr
j ¼ b
r
j ¼ ttl
Gr
j ¼ tt l
Gr
180
p
180
p
180
p
j ¼ MT l
Wp rG
j ¼ MT l
IpG
180
p
¼ b
r
180
p
5 Festigkeitslehre
180
p
j tt, G l, r MT
N
mm2 mm Nmm
Wp Ip
mm 3 mm 4