Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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Bei Torsion erhalten die Randfasern die stärkste
Beanspruchung, die Wellenachse ist spannungslos.
Daher kann die Wellenachse auch
zentrisch ausgebohrt werden.
5.8.2 Herleitung der Torsions-Hauptgleichung
Das Flächenteilchen DA im Abstand r von der
Wellenachse (Spannungsbild) überträgt die im
Querschnitt liegende Teilkraft DF. Unter der Annahme,
daß die Spannung t über dem (sehr klein
gedachten) Flächenteilchen DA gleichmäßig verteilt
ist (wie beim Abscheren), kann man
DF ¼ DAt schreiben.
Die Teilkraft DF wirkt in Bezug auf die Wellenachse
drehend am Hebelarm r. Sie erzeugt also
ein „kleines“ Torsionsmoment DMT ¼ DFr.
Mit der Spannung t kann man nichts anfangen;
dagegen wird die Randfaserspannung tmax gebraucht,
denn durch sie wird der Werkstoff am
stärksten beansprucht. Man ersetzt daher t durch
die aus dem Spannungsbild abgelesene Beziehung
t ¼ tmax r=r und erhält damit eine erweiterte
Gleichung für das Torsionsmoment DMT.
Die Summe dieser kleinen Torsionsmomente ist
das im Querschnitt wirkende (innere) Torsionsmoment
MT.
Die gleich bleibenden Größen tmax und r können
vor das Summenzeichen gesetzt werden.
Der Summenausdruck SDAr 2 ist das schon bekannte
polare Flächenmoment 2. Grades Ip; der
Ausdruck Ip=r ist das polare Widerstandsmoment
Wp. Nur wegen der einfachen Schreibweise wird
tmax ¼ tt eingesetzt. tt ist also ab jetzt immer die
Randfaserspannung, die größte Spannung im
Querschnitt.
Hinweis: Vor allem im Fahrzeugbau wird
der Konstrukteur Hohlwellen vorsehen
(Leichtbau).
DF ¼ DAt
DMT ¼ DFr ¼ DAtr
DMT ¼ DAtr ¼ DAtmax
DMT ¼ tmax
r DAr2
MT ¼ SDMT
r
r r
MT ¼ SDMT ¼ S tmax
r DAr2
MT ¼ tmax
r SDAr2
SDAr 2 ¼ Ip (siehe 5.7.2, Seite 304)
Ip
¼ Wp
r
MT ¼ tt
Ip
¼ ttWp
r
5 Festigkeitslehre