Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

5.8 Beanspruchung auf Torsion 321
5.8 Beanspruchung auf Torsion
Die folgenden Herleitungen und Berechnungsgleichungen gelten für rotationssymmetrische
Querschnitte (Kreise und Kreisringe). Für andere Querschnitte siehe Tabelle 5.2, Seite 311.
5.8.1 Spannungsverteilung
Eine Welle wird durch das Drehmoment M auf
Torsion (Verdrehung) beansprucht. Ein achsparallel
angebrachter Kreidestrich geht dabei in eine
Schraubenlinie über. Man legt einen Schnitt rechtwinklig
zur Stabachse und stellt durch das innere
Torsionsmoment MT ¼ M das Gleichgewicht am
Stabteil I wieder her. Die Mantelgerade AB ist zur
Schraubenlinie AC geworden. Die Schnittufer werden
demnach drehend gegeneinander verschoben.
Es entsteht eine in der Fläche wirkende Schubspannung.
Sie heißt Torsionsspannung tt.
Im Gegensatz zur Zug-, Druck- und Abscherbeanspruchung
werden die Werkstoffteilchen bei
der Torsionsbeanspruchung nicht gleich stark verformt.
Dementsprechend wird sich auch eine andere
Spannungsverteilung über dem Querschnitt einstellen
müssen. Verformungs- und Spannungsbild
geben darüber Aufschluss.
Das Verformungsbild des Schnittufers zeigt, dass
die Stoffteilchen umso weiter drehend gegeneinander
verschoben werden, je weiter sie von
der Wellenachse entfernt liegen. Man sieht, dass
Teilchen B auf dem Bogen b nach C gewandert
ist, d. h. die stärkste Verdrehung stellt sich am
Querschnittsumfang ein. Im Abstand r von der
Wellenachse ist die Verdrehung schon geringer
(B 0 wandert auf Db nach C 0 ). Die Wellenachse 0
selbst ist unverformt.
Im elastischen Bereich ist die Verformung der
Spannung proportional (siehe Hooke’sches Gesetz,
5.2.3.4, Seite 282), d. h. die Spannung muss im
Querschnitt ebenso verteilt sein wie die Verformung.
Man spricht von einer linearen Spannungsverteilung:
Die Wellenachse ist unverformt, also
spannungsfrei. Die Spannung wächst mit r bis
zum Höchstwert tmax am Querschnittsumfang
(Randspannung). Mit dieser Randspannung müssen
die Festigkeitsrechnungen erfolgen.
Torsionsbeanspruchte Welle
Verformungsbild
Die Verformungen wachsen linear mit dem
Abstand von der neutralen Faser:
Db r
¼
b r
Nach Hooke sind die Verformungen den
Spannungen proportional:
Db t
t
¼ und folglich ¼
b tmax
tmax
r
r
Daraus ergibt sich die Spannung t an einer
beliebigen Stelle:
t ¼ tmax
r
r
Spannungsbild