Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

5.7 Flächenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W 319
4. Ûbung: Für den skizzierten unsymmetrischen
Querschnitt sollen die Flächen- und Widerstandsmomente
berechnet werden.
Lösung für die x-Achse: Man denkt sich den
Querschnitt entstanden aus der vollen Rechteckfläche
(200 300) mm2 abzüglich der Hohlraumfläche
(160 150) mm2 , also A ¼ A1 A2. Mit
dieser Ûberlegung berechnet man sowohl die
Schwerpunktslage (e0) als auch die Flächenmomente
2. Grades. Es wird mit der Schwerpunktsberechnung
begonnen:
Unsymmetrischer Querschnitt mit Hohlraum
Ae0 ¼ A1 150 mm A2 175 mm ðMomentensatz für Flächen nach 2:2:3:1, Seite 80Þ
A1 ¼ð200 300Þ mm 2 ¼ 600 10 2 mm 2 ; A2 ¼ð160 150Þ mm 2 ¼ 240 10 2 mm 2
A ¼ A1 A2 ¼ð600 240Þ 10 2 mm 2 ¼ 360 10 2 mm 2
e0 ¼ 600 102 mm 2 1,5 10 2 mm 240 10 2 mm 2 1,75 10 2 mm
360 10 2 mm 2
¼ 900 104 mm 3 420 10 4 mm 3
3,6 10 4 mm 2
e0 ¼ 133 mm
l1 ¼ 150 mm e0 ¼ 17mm ; l1 2 ¼ 2,89 10 2 mm 2 ; l2 ¼ 175mm e0 ¼ 42mm
l2 2 ¼ 17,6 10 2 mm 2
200 mm ð300 mmÞ3
I1 ¼ ¼ 45 000 10
12
4 mm 4 160 mm ð150 mmÞ3
; I2 ¼ ¼ 4500 10
12
4 mm 4
Ix ¼ I1 þ A1l1 2
ðI2 þ A2l2 2 Þ¼ð45 000 þ 600 2,89 4500 240 17,6Þ 10 4 mm 4
Ix ¼ 3,8 10 8 mm 4
Wx1 ¼ Ix
Wx2 ¼
e0
¼ 3,8 108 mm 4
133 mm ¼ 2,85 106 mm 3
Ix
300 mm e0
¼ 3,8 108 mm 4
167 mm ¼ 2,28 106 mm 3
Lösung für die y-Achse: Die Berechnung der Flächen-
und Widerstandsmomente für die y-Achse
ist einfacher als für die x-Achse, weil jetzt Teilschwerachsen
und Gesamtschwerachse zusammenfallen:
300 mm ð200 mmÞ3
Iy ¼ I1 I2 ¼
12
150 mm ð160 mmÞ 3
12
Iy ¼ 1,488 10 8 mm 4
Wy1 ¼ Wy2 ¼ Iy
e ¼ 1,488 108 mm4 ¼ 1,488 10
100 mm
6 mm 3
¼