Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

5.7 Flächenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W 315
Nach der Ausrechnung erhält man rechts vom
Gleichheitszeichen eine Summe. Diese kann mit
bh ¼ A1 vereinfacht werden. Darüber hinaus ist
bekannt, dass bh 3 =12 das axiale Flächenmoment
Ix1 der Teilfläche A1 in Bezug auf die eigene
Schwerachse x1 x1 ist. Damit wurde der Verschiebesatz
von Steiner gefunden:
Das axiale Flächenmoment 2. Grades Ix einer
Teilfläche A1 in Bezug auf eine zur Schwerachse
um den Abstand l1 parallel verschobene Achse
ist gleich dem Flächenmoment Ix1 der Teilfläche
in Bezug auf deren Schwerachse, vemehrt um
das Produkt aus der Teilfläche A1 und dem
Abstandsquadrat l1 2 .
Häufig muss mit mehreren Teilflächen A1, A2 ...
gerechnet werden, deren Teilschwerachsen die Abstände
l1, l2 ... von der Bezugsachse haben. Dazu
schreibt man den Steiner’schen Satz in allgemeiner
Form. I1, I2 ... sind die Flächenmomente 2. Grades
der Teilflächen in Bezug auf die eigene Teilschwerachse.
Sie werden mit den Gleichungen aus
Tabelle 5.1, Seite 309, berechnet.
2Ix ¼ bð24hl1 2 þ 2h3Þ ¼
12
24bhl1 2 þ 2bh3 12
Ix ¼ bhl1 2 þ bh3
12
Ix ¼ A1 l1 2 þ Ix1
Ix ¼ Ix1 þ A1l1 2 Verschiebesatz
von Steiner
Ix Flächenmoment für parallele Achse x –x
Ix1 Flächenmoment der Teilfläche in Bezug
auf die eigene Schwerachse x1 x1
A1 Flächeninhalt der Teilfläche
l1 Abstand der parallelen Achsen
I ¼ I1 þ A1l1 2 þ I2 þ A2l2 2 þ ...þ In þ Anln 2
Verschiebesatz von Steiner
Beachte: Fallen Teilschwerachsen und
Bezugsachse zusammen, dann sind die
Abstände l1, l2 ...gleich null, und es wird
I ¼ I1 þ I2 þ ...þ In, d. h. die Teilflächenmomente
2. Grades werden einfach addiert
(siehe Tabelle 5.7.5, Seite 312).
5.7.6.2 Zweite Herleitung des Steiner’schen Satzes
Gesucht wird wieder eine Beziehung zur Berechnung
des Flächenmomentes 2. Grades Ix einer
Teilfläche A1 in Bezug auf eine zur Teilschwerachse
x1 x1 parallel um den Abstand l1 verschobene
Achse x x. Das Flächenmoment Ix1 der Teilfläche
wird als bekannt vorausgesetzt (Tabelle 5.1,
Seite 309). Man beginnt die Entwicklung mit der
Lösungsskizze
für alle Achsen gültigen allgemeinen Definitionsgleichung:
Als „Abstandsquadrat“ wird hier ðl1 þ yÞ 2 einge- Ix ¼ SDA ðl1 þ yÞ
setzt. Nach der Ausrechnung erhält man eine Summe
von drei Gliedern. Die konstanten Größen werden
vor das Summenzeichen geschrieben.
2
Ix ¼ SDA ðl1 2 þ 2l1 y þ y 2 Þ
Ix ¼ SDAl1 2 þ SDA2l1 y þ SDAy 2
Ix ¼ l1 2 SDA þ 2l1 SDAyþ SDAy 2
Das erste Glied ergibt das Produkt aus dem
Abstandsquadrat und der Teilfläche, weil
SDA ¼ A1 ist.
l1 2 SDA ¼ l1 2 A1