Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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5.7.6.1 Erste Herleitung des Steiner’schen Satzes 1)
Für ein T-Profil soll das axiale Flächenmoment Ix
für die Gesamtschwerachse x –x ermittelt werden.
Das Problem wird vereinfacht, indem nur die Teilfläche
A1 betrachtet wird. Deren Teilschwerachse
x1 x1 liegt um die Länge l1 gegenüber der Gesamtschwerachse
parallel verschoben. Erinnerung:
Das Flächenmomet Ix1 der Teilfläche A1 in Bezug
auf die Teilschwerachse x1 x1 ist bekannt; mit
Ix1 ¼ bh 3 =12 könnte man es sofort berechnen. Es
wird aber eine Gleichung gesucht, in der das Flächenmoment
der Teilfläche A1 auf die Gesamtschwerachse
x x bezogen ist.
Das erreicht man mit dem folgenden Kunstgriff.
Es wird ein zur Achse x x symmetrisches Profil
gebildet, indem man die obere Teilfläche A1 noch
einmal unterhalb der x-Achse ansetzt. Dann kann
man nach Abschnitt 5.7.5, Seite 312, vorgehen
und das Gesamtflächenmomemt in Bezug auf die
x-Achse mit den allgemeinen Bezeichnungen bestimmen.
Man subtrahiert vom Flächenmoment
der aus bH gebildeten Rechteckfläche das Flächenmoment
der Rechteckfläche bðH 2hÞ;
(beide Schwerachsen decken sich). Dieses Flächenmoment
muss doppelt so groß sein wie das
von nur einer Teilfläche A1 gebildete Flächenmoment
Ix, da die beiden Teilflächen A1 symmetrisch
zur x-Achse liegen. Es kann also Ixges ¼ 2Ix gesetzt
werden.
Mit der bekannten Gleichung zur Berechnung des
Flächenmomentes von Rechteckquerschnitten findet
man die Ausgangsbeziehung, in die man für
die Höhe H die Beziehung H ¼ 2l1 þ h einführt
(siehe Skizze).
Die Differenz der Potenzausdrücke
ð2l1 þ hÞ 3
ð2l1 hÞ 3
wird gesondert berechnet und das Ergebnis eingesetzt.
1) Jakob Steiner, Schweizer Mathematiker, 1796 –1863.
Ixges ¼ 2Ix ¼ bH3
12
2Ix ¼ bð2l1 þ hÞ 3
12
bðH 2hÞ 3
12
b ð2l1 þ h 2hÞ 3
12
2Ix ¼ b½ð2l1 þ hÞ 3
ð2l1 hÞ 3 Š
12
ð2l1 þ hÞ 3
5 Festigkeitslehre
ð2l1 hÞ 3 ¼ 24hl1 2 þ 2h 3