Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

5.7 Flächenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W 307
Ein Vergleich der Ergebnisse und auch der Gleichungen
aus den Tabellen 5.1 und 5.2 zeigt:
Die polaren Flächen- und Widerstandsmomente
(Ip, Wp) sind beim Kreisquerschnitt und beim
Kreisringquerschnitt doppelt so groß wie die
axialen Widerstandsmomente (I, W ).
2. Ûbung: Für eine Hohlwelle von 60 mm Außenund
40 mm Innendurchmesser sollen wie in der
ersten Ûbung die axialen und polaren Flächenund
Widerstandsmomente bestimmt werden.
Lösung: Die axialen Flächen- und Widerstandsmomente
sind auch hier wegen der Querschnittssymmetrie
für jede Schwerachse jeweils gleich
groß, so dass man sie einfach mit I und W bezeichnen
kann.
Auch hier erkennt man wieder, dass die polaren
Flächenmomente doppelt so groß sind wie die
axialen, so dass Ip und Wp noch einfacher hätte berechnet
werden können (Ip ¼ 2I und Wp ¼ 2W).
3. Ûbung: Für einen Holzbalken mit Rechteckquerschnitt
von 180 mm Höhe und 90 mm Breite
sollen die axialen Flächenmomente 2. Grades
bestimmt werden. Wird nichts anderes gesagt,
gelten als Bezugsachsen die beiden rechtwinklig
aufeinander stehenden „Hauptachsen“ (x- und
y-Achse).
Lösung: Die axialen Flächenmomente sind ein
Maß für die Steifigkeit des Querschnitts gegen
Biegung oder Knickung. Der Balken ist „hochkant“
schwerer zu biegen (Ix ¼ 43,74 10 6 mm 4 )
als „flachkant“ (Iy ¼ 10,94 10 6 mm 4 ). Bei Knickbeanspruchung
würde er nach der Seite mit dem
geringsten I ausknicken, also flachkant (um die
y-Achse), weil Iy < Ix ist.
Ip ¼
4 pd p
¼
32 32 ð60 mmÞ4 ¼ 127,2 10 4 mm 4
Wp ¼ pd3 p
¼
16 16 ð60 mmÞ3 ¼ 42,4 10 3 mm 3
oder einfacher wie beim axialen Widerstandsmoment:
Wp ¼ Ip
r ¼ 127,2 104 mm4 ¼ 42,4 10
30 mm
3 mm 3
Gegeben:
D ¼ da ¼ 60 mm, d ¼ di ¼ 40 mm
Gesucht:
Ix, Iy, Ip, Wx, Wy, Wp
I ¼ p
64 ðD4
I ¼ 51,1 10 4 mm 4
d 4 Þ¼ p
64 ð604
40 4 Þ mm 4
W ¼ I
ðD=2Þ ¼ 51,1 104 mm4 ¼ 17 10
30 mm
3 mm 3
Ip ¼ p 4
ðda
32
Ip ¼ 102,1 10 4 mm 4
di 4 Þ¼ p
32 ð604
40 4 Þ mm 4
Wp ¼ Ip
ðda=2Þ ¼ 102,1 104 mm4 ¼ 34 10
30 mm
3 mm 3
Gegeben:
Rechteckquerschnitt mit h ¼ 180 mm,
b ¼ 90 mm
Gesucht:
Ix, Wx, Iy, Wy
Ix ¼ bh3
12 ¼ 43,74 106 mm 4
Wx ¼ Ix
e ¼ 48,6 104 mm 3
Iy ¼ hb3
12 ¼ 10,94 106 mm 4
Wy ¼ Iy
e ¼ 24,3 104 mm 3