Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
306 Lösung: Die Rechteckfläche von der Breite b und der Höhe h wird in 8 Flächenstreifen gleicher Höhe zerlegt, deren Flächeninhalt dann DA ¼ bh=8 beträgt. Die mittleren Abstände der Flächenstreifen von der Bezugsachse x drückt man als Bruchteile der Gesamthöhe h aus und bildet die Produkte aus Flächenteilchen DA und zugehörigem Abstandsquadrat. DA1y1 2 ¼ bh 8 DA2y2 2 ¼ bh 8 DA3y3 2 ¼ bh 8 DA4y4 2 ¼ bh 8 1 16 h 3 16 h 5 16 h 7 16 h Die Definitionsgleichung weist den weiteren Weg: Gemäß Ix ¼ SDAy 2 summiert man die Produkte aus Flächenteilchen DA und Abstandsquadrat und rechnet die bestimmten Zahlen aus: Ix ¼ SDAy 2 ¼ðDA1 y1 2 þ DA2 y2 2 þ DA3 y3 2 þ DA4 y4 2 Þ 2 Ausgerechnet ergibt das: Ix ¼ bh 1 8 256 h2 þ bh 9 8 256 h2 þ bh 25 8 256 h2 þ bh 49 8 256 h2 Ix ¼ 2 bh 8 h2 bh3 ð1 þ 9 þ 25 þ 49Þ ¼ 256 12,2 2 2 2 2 2 Beachte: Jedes Flächenteilchen DA1, DA2, DA3, DA4 ist oberhalb und unterhalb der x-Achse vorhanden, erscheint also zweimal in der Rechnung. Der Vergleich mit der Gleichung in Tabelle 5.1, Seite 309 (Ix ¼ bh 3 =12) zeigt, dass schon die grobe Aufteilung des Querschnitts dicht an den richtigen Wert im Nenner heranführt (12,2 statt 12). Auf gleiche Weise können sämtliche Gleichungen der Tabellen 5.1 und 5.2 genügend genau entwickelt werden. Allerdings führt die Integralrechnung schneller zum genauen Ergebnis. 5.7.4 Ûbungen mit Flächen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte 1. Ûbung: Für eine Welle von 60 mm Durchmesser sollen die axialen und polaren Flächen- und Widerstandsmomente berechnet werden. Die erforderlichen Gleichungen stehen in den Tabellen 5.1 und 5.2 ab Seite 309. Lösung: Wegen der Querschnittssymmetrie sind die axialen Flächenmomente Ix, Iy und die zugehörigen Widerstandsmomente Wx, Wy, jeweils gleich groß. Die axialen Widerstandsmomente Wx und Wy können auch einfacher aus den vorher berechneten Flächenmomenten bestimmt werden, wenn man sich daran erinnert, dass allgemein W ¼ I=e ist (e Randfaserabstand). Gegeben: Wellendurchmesser d ¼ 60 mm Gesucht: Ix, Wx, Iy, Wy, Ip, Wp Ix ¼ Iy ¼ pd4 64 ¼ 63,6 104 mm 4 Wx ¼ Wy ¼ pd3 32 ¼ 21,2 103 mm 3 Wx ¼ Ix Ix ¼ e ðd=2Þ ¼ 21, 2 103 mm 3 Wy ¼ Iy e wie vorher 5 Festigkeitslehre
5.7 Flächenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W 307 Ein Vergleich der Ergebnisse und auch der Gleichungen aus den Tabellen 5.1 und 5.2 zeigt: Die polaren Flächen- und Widerstandsmomente (Ip, Wp) sind beim Kreisquerschnitt und beim Kreisringquerschnitt doppelt so groß wie die axialen Widerstandsmomente (I, W ). 2. Ûbung: Für eine Hohlwelle von 60 mm Außenund 40 mm Innendurchmesser sollen wie in der ersten Ûbung die axialen und polaren Flächenund Widerstandsmomente bestimmt werden. Lösung: Die axialen Flächen- und Widerstandsmomente sind auch hier wegen der Querschnittssymmetrie für jede Schwerachse jeweils gleich groß, so dass man sie einfach mit I und W bezeichnen kann. Auch hier erkennt man wieder, dass die polaren Flächenmomente doppelt so groß sind wie die axialen, so dass Ip und Wp noch einfacher hätte berechnet werden können (Ip ¼ 2I und Wp ¼ 2W). 3. Ûbung: Für einen Holzbalken mit Rechteckquerschnitt von 180 mm Höhe und 90 mm Breite sollen die axialen Flächenmomente 2. Grades bestimmt werden. Wird nichts anderes gesagt, gelten als Bezugsachsen die beiden rechtwinklig aufeinander stehenden „Hauptachsen“ (x- und y-Achse). Lösung: Die axialen Flächenmomente sind ein Maß für die Steifigkeit des Querschnitts gegen Biegung oder Knickung. Der Balken ist „hochkant“ schwerer zu biegen (Ix ¼ 43,74 10 6 mm 4 ) als „flachkant“ (Iy ¼ 10,94 10 6 mm 4 ). Bei Knickbeanspruchung würde er nach der Seite mit dem geringsten I ausknicken, also flachkant (um die y-Achse), weil Iy < Ix ist. Ip ¼ 4 pd p ¼ 32 32 ð60 mmÞ4 ¼ 127,2 10 4 mm 4 Wp ¼ pd3 p ¼ 16 16 ð60 mmÞ3 ¼ 42,4 10 3 mm 3 oder einfacher wie beim axialen Widerstandsmoment: Wp ¼ Ip r ¼ 127,2 104 mm4 ¼ 42,4 10 30 mm 3 mm 3 Gegeben: D ¼ da ¼ 60 mm, d ¼ di ¼ 40 mm Gesucht: Ix, Iy, Ip, Wx, Wy, Wp I ¼ p 64 ðD4 I ¼ 51,1 10 4 mm 4 d 4 Þ¼ p 64 ð604 40 4 Þ mm 4 W ¼ I ðD=2Þ ¼ 51,1 104 mm4 ¼ 17 10 30 mm 3 mm 3 Ip ¼ p 4 ðda 32 Ip ¼ 102,1 10 4 mm 4 di 4 Þ¼ p 32 ð604 40 4 Þ mm 4 Wp ¼ Ip ðda=2Þ ¼ 102,1 104 mm4 ¼ 34 10 30 mm 3 mm 3 Gegeben: Rechteckquerschnitt mit h ¼ 180 mm, b ¼ 90 mm Gesucht: Ix, Wx, Iy, Wy Ix ¼ bh3 12 ¼ 43,74 106 mm 4 Wx ¼ Ix e ¼ 48,6 104 mm 3 Iy ¼ hb3 12 ¼ 10,94 106 mm 4 Wy ¼ Iy e ¼ 24,3 104 mm 3
- Seite 275 und 276: 4.10 Mechanische Schwingungen 255 E
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- Seite 285 und 286: 5.1 Grundbegriffe 265 Die Welle dar
- Seite 287 und 288: 5.1 Grundbegriffe 267 Wird vorausge
- Seite 289 und 290: 5.1 Grundbegriffe 269 5.1.5.2 Druck
- Seite 291 und 292: 5.1 Grundbegriffe 271 5.1.7 Bestimm
- Seite 293 und 294: 5.1 Grundbegriffe 273 2. Ûbung: Da
- Seite 295 und 296: 5.1 Grundbegriffe 275 4. Ûbung: Nu
- Seite 297 und 298: 5.1 Grundbegriffe 277 c) Schnittste
- Seite 299 und 300: 5.2 Beanspruchung auf Zug 279 5.2.2
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- Seite 307 und 308: 5.4 Ûbungen zur Zug- und Druckbean
- Seite 309 und 310: 5.5 Flächenpressung 289 Die Fläch
- Seite 311 und 312: 5.5 Flächenpressung 291 5.5.4 Flä
- Seite 313 und 314: 5.5 Flächenpressung 293 5.5.6 Ûbu
- Seite 315 und 316: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 295
- Seite 317 und 318: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 297
- Seite 319 und 320: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 299
- Seite 321 und 322: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 301
- Seite 323 und 324: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 325: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 329 und 330: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 331 und 332: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
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- Seite 339 und 340: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 341 und 342: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 321 5
- Seite 343 und 344: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 323 D
- Seite 345 und 346: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 325 5
- Seite 347 und 348: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 327 L
- Seite 349 und 350: 5.9 Beanspruchung auf Biegung 329 5
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- Seite 371 und 372: 5.10 Beanspruchung auf Knickung 351
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Lösung: Die Rechteckfläche von der Breite b und<br />
der Höhe h wird in 8 Flächenstreifen gleicher Höhe<br />
zerlegt, deren Flächeninhalt dann DA ¼ bh=8<br />
beträgt. Die mittleren Abstände der Flächenstreifen<br />
von der Bezugsachse x drückt man als Bruchteile<br />
der Gesamthöhe h aus und bildet die Produkte<br />
aus Flächenteilchen DA und zugehörigem Abstandsquadrat.<br />
DA1y1 2 ¼ bh<br />
8<br />
DA2y2 2 ¼ bh<br />
8<br />
DA3y3 2 ¼ bh<br />
8<br />
DA4y4 2 ¼ bh<br />
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Die Definitionsgleichung weist den weiteren Weg: Gemäß Ix ¼ SDAy 2 summiert man die<br />
Produkte aus Flächenteilchen DA und Abstandsquadrat und rechnet die bestimmten Zahlen aus:<br />
Ix ¼ SDAy 2 ¼ðDA1 y1 2 þ DA2 y2 2 þ DA3 y3 2 þ DA4 y4 2 Þ 2<br />
Ausgerechnet ergibt das:<br />
Ix ¼ bh 1<br />
8 256 h2 þ bh 9<br />
8 256 h2 þ bh 25<br />
8 256 h2 þ bh 49<br />
8 256 h2<br />
Ix ¼ 2 bh<br />
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ð1 þ 9 þ 25 þ 49Þ ¼<br />
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Beachte: Jedes Flächenteilchen<br />
DA1, DA2, DA3,<br />
DA4 ist oberhalb und<br />
unterhalb der x-Achse<br />
vorhanden, erscheint<br />
also zweimal in der<br />
Rechnung.<br />
Der Vergleich mit der Gleichung in Tabelle 5.1, Seite 309 (Ix ¼ bh 3 =12) zeigt, dass schon die<br />
grobe Aufteilung des Querschnitts dicht an den richtigen Wert im Nenner heranführt (12,2 statt<br />
12). Auf gleiche Weise können sämtliche Gleichungen der Tabellen 5.1 und 5.2 genügend<br />
genau entwickelt werden. Allerdings führt die Integralrechnung schneller zum genauen Ergebnis.<br />
5.7.4 Ûbungen mit Flächen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte<br />
1. Ûbung: Für eine Welle von 60 mm Durchmesser<br />
sollen die axialen und polaren Flächen- und<br />
Widerstandsmomente berechnet werden.<br />
Die erforderlichen Gleichungen stehen in den Tabellen<br />
5.1 und 5.2 ab Seite 309.<br />
Lösung: Wegen der Querschnittssymmetrie sind<br />
die axialen Flächenmomente Ix, Iy und die zugehörigen<br />
Widerstandsmomente Wx, Wy, jeweils gleich<br />
groß.<br />
Die axialen Widerstandsmomente Wx und Wy können<br />
auch einfacher aus den vorher berechneten<br />
Flächenmomenten bestimmt werden, wenn man<br />
sich daran erinnert, dass allgemein W ¼ I=e ist<br />
(e Randfaserabstand).<br />
Gegeben:<br />
Wellendurchmesser d ¼ 60 mm<br />
Gesucht:<br />
Ix, Wx, Iy, Wy, Ip, Wp<br />
Ix ¼ Iy ¼ pd4<br />
64 ¼ 63,6 104 mm 4<br />
Wx ¼ Wy ¼ pd3<br />
32 ¼ 21,2 103 mm 3<br />
Wx ¼ Ix Ix<br />
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e ðd=2Þ ¼ 21, 2 103 mm 3<br />
Wy ¼ Iy<br />
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wie vorher<br />
5 Festigkeitslehre