Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

306
Lösung: Die Rechteckfläche von der Breite b und
der Höhe h wird in 8 Flächenstreifen gleicher Höhe
zerlegt, deren Flächeninhalt dann DA ¼ bh=8
beträgt. Die mittleren Abstände der Flächenstreifen
von der Bezugsachse x drückt man als Bruchteile
der Gesamthöhe h aus und bildet die Produkte
aus Flächenteilchen DA und zugehörigem Abstandsquadrat.
DA1y1 2 ¼ bh
8
DA2y2 2 ¼ bh
8
DA3y3 2 ¼ bh
8
DA4y4 2 ¼ bh
8
1
16 h
3
16 h
5
16 h
7
16 h
Die Definitionsgleichung weist den weiteren Weg: Gemäß Ix ¼ SDAy 2 summiert man die
Produkte aus Flächenteilchen DA und Abstandsquadrat und rechnet die bestimmten Zahlen aus:
Ix ¼ SDAy 2 ¼ðDA1 y1 2 þ DA2 y2 2 þ DA3 y3 2 þ DA4 y4 2 Þ 2
Ausgerechnet ergibt das:
Ix ¼ bh 1
8 256 h2 þ bh 9
8 256 h2 þ bh 25
8 256 h2 þ bh 49
8 256 h2
Ix ¼ 2 bh
8
h2 bh3
ð1 þ 9 þ 25 þ 49Þ ¼
256 12,2
2
2
2
2
2
Beachte: Jedes Flächenteilchen
DA1, DA2, DA3,
DA4 ist oberhalb und
unterhalb der x-Achse
vorhanden, erscheint
also zweimal in der
Rechnung.
Der Vergleich mit der Gleichung in Tabelle 5.1, Seite 309 (Ix ¼ bh 3 =12) zeigt, dass schon die
grobe Aufteilung des Querschnitts dicht an den richtigen Wert im Nenner heranführt (12,2 statt
12). Auf gleiche Weise können sämtliche Gleichungen der Tabellen 5.1 und 5.2 genügend
genau entwickelt werden. Allerdings führt die Integralrechnung schneller zum genauen Ergebnis.
5.7.4 Ûbungen mit Flächen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte
1. Ûbung: Für eine Welle von 60 mm Durchmesser
sollen die axialen und polaren Flächen- und
Widerstandsmomente berechnet werden.
Die erforderlichen Gleichungen stehen in den Tabellen
5.1 und 5.2 ab Seite 309.
Lösung: Wegen der Querschnittssymmetrie sind
die axialen Flächenmomente Ix, Iy und die zugehörigen
Widerstandsmomente Wx, Wy, jeweils gleich
groß.
Die axialen Widerstandsmomente Wx und Wy können
auch einfacher aus den vorher berechneten
Flächenmomenten bestimmt werden, wenn man
sich daran erinnert, dass allgemein W ¼ I=e ist
(e Randfaserabstand).
Gegeben:
Wellendurchmesser d ¼ 60 mm
Gesucht:
Ix, Wx, Iy, Wy, Ip, Wp
Ix ¼ Iy ¼ pd4
64 ¼ 63,6 104 mm 4
Wx ¼ Wy ¼ pd3
32 ¼ 21,2 103 mm 3
Wx ¼ Ix Ix
¼
e ðd=2Þ ¼ 21, 2 103 mm 3
Wy ¼ Iy
e
wie vorher
5 Festigkeitslehre