Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

5.7 Flächenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W 305
In den Herleitungen der Abschnitte 5.8.2 (Seite
322) und 5.9.4 (Seite 330) erscheint außer dem
Summenausdruck der Quotient Ip/r (bei Torsion)
und I/e (bei Biegung). Darin sind r und e die
Randfaserabstände, d. h. die Abstände vom Bezugspunkt
oder von der Bezugsachse bis zur
Randfaser. Dieser Quotient heißt
Widerstandsmoment W ¼
Flächenmoment I
Randfaserabstand r ðoder eÞ
Am häufigsten werden die Widerstandsmomente
in Bezug auf die beiden in der Querschnittsfläche
liegenden Achsen x, y und in Bezug auf die rechtwinklig
zum Querschnitt stehende 0-Achse gebraucht.
Nach den Achsen werden sie auch bezeichnet.
Mit Hilfe der Integralrechnung lassen sich für die
verschiedenen Querschnittsformen Berechnungsgleichungen
entwickeln; die wichtigsten sind in
den Tabellen 5.1 (Seite 309) und 5.2 (Seite 311)
zusammengestellt. Für genormte Profile (Winkel-,
I-Profil usw.) enthalten die Profilstahltabellen ausgerechnete
Werte für Flächenmomente I und Widerstandsmomente
W.
5.7.3 Herleitungsübung
Um das Verständnis für das Flächenmoment zu
vertiefen, wird erst einmal versucht, eine Berechnungsgleichung
für das Flächenmoment Ix eines
Rechteckquerschnitts ohne Integralrechnung zu
entwickeln. Bezugsachse soll also die waagerecht
im Rechteckquerschnitt liegende x-Achse sein.
Was bei dieser Untersuchung herauskommen
muss, kann aus Tabelle 5.1, Seite 309, abgelesen
werden: In Bezug auf die dort eingezeichnete
waagerechte Achse muss I ¼ bh 3 =12 sein.
Randfaserabstand e und r
Wx ¼ Ix
W ¼ I
e
Wp ¼ Ip
r
ex
Wy ¼ Iy
ey
Wp ¼ Ip
r
W, Wp I, Ip e, r
mm 3 mm 4 mm
axiales Widerstandsmoment
in Bezug auf die x-Achse
axiales Widerstandsmoment
in Bezug auf die y-Achse
polares Widerstandsmoment
in Bezug auf die Verdrehachse
0 (gilt nur für Kreisoder
Kreisringquerschnitt)
Gegebener Rechteckquerschnitt bh, zerlegt
in Flächenstreifen DA parallel zur x-Achse.