Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
304 5.7.2 Definition der Flächenmomente 2. Grades Aus der unterschiedlichen Spannungsverteilung gegenüber Zug-, Druck-, Abscher- und Pressungsbeanspruchung wird verständlich, dass die Hauptgleichungen für Biegung und Torsion nicht ganz so einfach aufgebaut sein können, wie die bisher bekannten Hauptgleichungen. Tatsächlich erscheint in den Herleitungen dieser Gleichungen (5.8.2, Seite 322 und 5.9.4, Seite 330) nicht mehr die Querschnittsfläche als geometrische Größe im Nenner, sondern ein Summenausdruck, der als Flächenmoment 2. Grades I bezeichnet wird. Das Flächenmoment für Biegung heißt axiales, das für Torsion von Stäben mit Kreis- oder Kreisringquerschnitt (Wellen) heißt polares Flächenmoment 2. Grades. Da beide Flächenmomente aus der Herleitung heraus gleichartig aufgebaut sind, gilt die folgende Definition: Multipliziert man jedes Flächenteilchen DA einer Fläche mit dem Quadrat seines Abstandes von einem Bezugspunkt oder von einer Bezugsachse (r, x, y), dann ergibt die Summe dieser Produkte das Flächenmoment zweiten Grades I dieser Fläche. Bezugsachse ist immer diejenige neutrale Faser des Querschnitts, um die gebogen oder verdreht wird (x –x, y –y oder 0). Aus dieser Definition ergibt sich auch die Einheit mm 4 (Fläche mal Abstandsquadrat). Beachte: Gleichmäßige Spannungsverteilung bei Zug, Druck, Abscheren und Flächenpressung. Lineare Spannungsverteilung bei Biegung und Torsion. sb ¼ Mb I e tt ¼ MT Biege- und Torsions-Hauptgleichung in noch nicht endgültiger Form (siehe Seite 323 und 331). Ip Ix ¼ DA1y1 2 þ DA2y2 2 þ DA3y3 2 þ ...þ DAnyn 2 Iy ¼ DA1x1 2 þ DA2x2 2 þ DA3x3 2 þ ...þ DAnxn 2 Ix ¼ SDAy 2 Iy ¼ SDAx 2 axiales Flächenmoment 2. Grades (für Biegung und Knickung erforderlich) Definitionsgleichung Ip ¼ DA1r1 2 þ DA2r2 2 þ DA3r3 2 þ ...þ DAnrn 2 Ip ¼ SDA r 2 Definitionsgleichung 5 Festigkeitslehre r polares Flächenmoment 2. Grades (für Torsion von Stäben mit Kreisoder Kreisringquerschnitt erforderlich) ðIÞ ¼ðAÞ ðx, y, rÞ 2 ¼ mm 2 mm 2 ¼ mm 4 ðIÞ ¼mm 4 Hinweis: Man geht hier von der Längeneinheit mm aus, weil im Maschinenbau und in der Feinwerktechnik damit gearbeitet wird. Grundsätzlich dürfen auch cm und m benutzt werden (cm 4 ,m 4 ).
5.7 Flächenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W 305 In den Herleitungen der Abschnitte 5.8.2 (Seite 322) und 5.9.4 (Seite 330) erscheint außer dem Summenausdruck der Quotient Ip/r (bei Torsion) und I/e (bei Biegung). Darin sind r und e die Randfaserabstände, d. h. die Abstände vom Bezugspunkt oder von der Bezugsachse bis zur Randfaser. Dieser Quotient heißt Widerstandsmoment W ¼ Flächenmoment I Randfaserabstand r ðoder eÞ Am häufigsten werden die Widerstandsmomente in Bezug auf die beiden in der Querschnittsfläche liegenden Achsen x, y und in Bezug auf die rechtwinklig zum Querschnitt stehende 0-Achse gebraucht. Nach den Achsen werden sie auch bezeichnet. Mit Hilfe der Integralrechnung lassen sich für die verschiedenen Querschnittsformen Berechnungsgleichungen entwickeln; die wichtigsten sind in den Tabellen 5.1 (Seite 309) und 5.2 (Seite 311) zusammengestellt. Für genormte Profile (Winkel-, I-Profil usw.) enthalten die Profilstahltabellen ausgerechnete Werte für Flächenmomente I und Widerstandsmomente W. 5.7.3 Herleitungsübung Um das Verständnis für das Flächenmoment zu vertiefen, wird erst einmal versucht, eine Berechnungsgleichung für das Flächenmoment Ix eines Rechteckquerschnitts ohne Integralrechnung zu entwickeln. Bezugsachse soll also die waagerecht im Rechteckquerschnitt liegende x-Achse sein. Was bei dieser Untersuchung herauskommen muss, kann aus Tabelle 5.1, Seite 309, abgelesen werden: In Bezug auf die dort eingezeichnete waagerechte Achse muss I ¼ bh 3 =12 sein. Randfaserabstand e und r Wx ¼ Ix W ¼ I e Wp ¼ Ip r ex Wy ¼ Iy ey Wp ¼ Ip r W, Wp I, Ip e, r mm 3 mm 4 mm axiales Widerstandsmoment in Bezug auf die x-Achse axiales Widerstandsmoment in Bezug auf die y-Achse polares Widerstandsmoment in Bezug auf die Verdrehachse 0 (gilt nur für Kreisoder Kreisringquerschnitt) Gegebener Rechteckquerschnitt bh, zerlegt in Flächenstreifen DA parallel zur x-Achse.
- Seite 273 und 274: 4.10 Mechanische Schwingungen 253 P
- Seite 275 und 276: 4.10 Mechanische Schwingungen 255 E
- Seite 277 und 278: 4.10 Mechanische Schwingungen 257 B
- Seite 279 und 280: 4.10 Mechanische Schwingungen 259 4
- Seite 281 und 282: 4.10 Mechanische Schwingungen 261 4
- Seite 283 und 284: Formelzeichen und Einheiten 263 P W
- Seite 285 und 286: 5.1 Grundbegriffe 265 Die Welle dar
- Seite 287 und 288: 5.1 Grundbegriffe 267 Wird vorausge
- Seite 289 und 290: 5.1 Grundbegriffe 269 5.1.5.2 Druck
- Seite 291 und 292: 5.1 Grundbegriffe 271 5.1.7 Bestimm
- Seite 293 und 294: 5.1 Grundbegriffe 273 2. Ûbung: Da
- Seite 295 und 296: 5.1 Grundbegriffe 275 4. Ûbung: Nu
- Seite 297 und 298: 5.1 Grundbegriffe 277 c) Schnittste
- Seite 299 und 300: 5.2 Beanspruchung auf Zug 279 5.2.2
- Seite 301 und 302: 5.2 Beanspruchung auf Zug 281 5.2.3
- Seite 303 und 304: 5.2 Beanspruchung auf Zug 283 Nach
- Seite 305 und 306: 5.3 Beanspruchung auf Druck 285 Set
- Seite 307 und 308: 5.4 Ûbungen zur Zug- und Druckbean
- Seite 309 und 310: 5.5 Flächenpressung 289 Die Fläch
- Seite 311 und 312: 5.5 Flächenpressung 291 5.5.4 Flä
- Seite 313 und 314: 5.5 Flächenpressung 293 5.5.6 Ûbu
- Seite 315 und 316: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 295
- Seite 317 und 318: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 297
- Seite 319 und 320: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 299
- Seite 321 und 322: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 301
- Seite 323: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 327 und 328: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 329 und 330: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 331 und 332: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 333 und 334: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 335 und 336: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 337 und 338: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 339 und 340: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 341 und 342: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 321 5
- Seite 343 und 344: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 323 D
- Seite 345 und 346: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 325 5
- Seite 347 und 348: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 327 L
- Seite 349 und 350: 5.9 Beanspruchung auf Biegung 329 5
- Seite 351 und 352: 5.9 Beanspruchung auf Biegung 331 D
- Seite 353 und 354: 5.9 Beanspruchung auf Biegung 333 5
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- Seite 357 und 358: 5.9 Beanspruchung auf Biegung 337 Z
- Seite 359 und 360: 5.9 Beanspruchung auf Biegung 339 D
- Seite 361 und 362: 5.9 Beanspruchung auf Biegung 341 M
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- Seite 371 und 372: 5.10 Beanspruchung auf Knickung 351
- Seite 373 und 374: 5.10 Beanspruchung auf Knickung 353
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5.7.2 Definition der Flächenmomente 2. Grades<br />
Aus der unterschiedlichen Spannungsverteilung<br />
gegenüber Zug-, Druck-, Abscher- und Pressungsbeanspruchung<br />
wird verständlich, dass die Hauptgleichungen<br />
für Biegung und Torsion nicht ganz<br />
so einfach aufgebaut sein können, wie die bisher<br />
bekannten Hauptgleichungen.<br />
Tatsächlich erscheint in den Herleitungen dieser<br />
Gleichungen (5.8.2, Seite 322 und 5.9.4, Seite<br />
330) nicht mehr die Querschnittsfläche als geometrische<br />
Größe im Nenner, sondern ein Summenausdruck,<br />
der als Flächenmoment 2. Grades I bezeichnet<br />
wird.<br />
Das Flächenmoment für Biegung heißt axiales,<br />
das für Torsion von Stäben mit Kreis- oder Kreisringquerschnitt<br />
(Wellen) heißt polares Flächenmoment<br />
2. Grades. Da beide Flächenmomente aus<br />
der Herleitung heraus gleichartig aufgebaut sind,<br />
gilt die folgende Definition:<br />
Multipliziert man jedes Flächenteilchen DA<br />
einer Fläche mit dem Quadrat seines Abstandes<br />
von einem Bezugspunkt oder von einer Bezugsachse<br />
(r, x, y), dann ergibt die Summe dieser<br />
Produkte das Flächenmoment zweiten Grades<br />
I dieser Fläche.<br />
Bezugsachse ist immer diejenige neutrale Faser<br />
des Querschnitts, um die gebogen oder verdreht<br />
wird (x –x, y –y oder 0).<br />
Aus dieser Definition ergibt sich auch die Einheit<br />
mm 4 (Fläche mal Abstandsquadrat).<br />
Beachte:<br />
Gleichmäßige Spannungsverteilung bei Zug,<br />
Druck, Abscheren und Flächenpressung.<br />
Lineare Spannungsverteilung bei Biegung<br />
und Torsion.<br />
sb ¼ Mb<br />
I<br />
e tt ¼ MT<br />
Biege- und Torsions-Hauptgleichung in noch<br />
nicht endgültiger Form (siehe Seite 323 und<br />
331).<br />
Ip<br />
Ix ¼ DA1y1 2 þ DA2y2 2 þ DA3y3 2 þ ...þ DAnyn 2<br />
Iy ¼ DA1x1 2 þ DA2x2 2 þ DA3x3 2 þ ...þ DAnxn 2<br />
Ix ¼ SDAy 2<br />
Iy ¼ SDAx 2<br />
axiales Flächenmoment<br />
2. Grades (für Biegung<br />
und Knickung erforderlich)<br />
Definitionsgleichung<br />
Ip ¼ DA1r1 2 þ DA2r2 2 þ DA3r3 2 þ ...þ DAnrn 2<br />
Ip ¼ SDA r 2<br />
Definitionsgleichung<br />
5 Festigkeitslehre<br />
r<br />
polares Flächenmoment<br />
2. Grades (für Torsion<br />
von Stäben mit Kreisoder<br />
Kreisringquerschnitt<br />
erforderlich)<br />
ðIÞ ¼ðAÞ ðx, y, rÞ 2 ¼ mm 2 mm 2 ¼ mm 4<br />
ðIÞ ¼mm 4<br />
Hinweis: Man geht hier von der Längeneinheit<br />
mm aus, weil im Maschinenbau und in<br />
der Feinwerktechnik damit gearbeitet wird.<br />
Grundsätzlich dürfen auch cm und m benutzt<br />
werden (cm 4 ,m 4 ).