Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

304
5.7.2 Definition der Flächenmomente 2. Grades
Aus der unterschiedlichen Spannungsverteilung
gegenüber Zug-, Druck-, Abscher- und Pressungsbeanspruchung
wird verständlich, dass die Hauptgleichungen
für Biegung und Torsion nicht ganz
so einfach aufgebaut sein können, wie die bisher
bekannten Hauptgleichungen.
Tatsächlich erscheint in den Herleitungen dieser
Gleichungen (5.8.2, Seite 322 und 5.9.4, Seite
330) nicht mehr die Querschnittsfläche als geometrische
Größe im Nenner, sondern ein Summenausdruck,
der als Flächenmoment 2. Grades I bezeichnet
wird.
Das Flächenmoment für Biegung heißt axiales,
das für Torsion von Stäben mit Kreis- oder Kreisringquerschnitt
(Wellen) heißt polares Flächenmoment
2. Grades. Da beide Flächenmomente aus
der Herleitung heraus gleichartig aufgebaut sind,
gilt die folgende Definition:
Multipliziert man jedes Flächenteilchen DA
einer Fläche mit dem Quadrat seines Abstandes
von einem Bezugspunkt oder von einer Bezugsachse
(r, x, y), dann ergibt die Summe dieser
Produkte das Flächenmoment zweiten Grades
I dieser Fläche.
Bezugsachse ist immer diejenige neutrale Faser
des Querschnitts, um die gebogen oder verdreht
wird (x –x, y –y oder 0).
Aus dieser Definition ergibt sich auch die Einheit
mm 4 (Fläche mal Abstandsquadrat).
Beachte:
Gleichmäßige Spannungsverteilung bei Zug,
Druck, Abscheren und Flächenpressung.
Lineare Spannungsverteilung bei Biegung
und Torsion.
sb ¼ Mb
I
e tt ¼ MT
Biege- und Torsions-Hauptgleichung in noch
nicht endgültiger Form (siehe Seite 323 und
331).
Ip
Ix ¼ DA1y1 2 þ DA2y2 2 þ DA3y3 2 þ ...þ DAnyn 2
Iy ¼ DA1x1 2 þ DA2x2 2 þ DA3x3 2 þ ...þ DAnxn 2
Ix ¼ SDAy 2
Iy ¼ SDAx 2
axiales Flächenmoment
2. Grades (für Biegung
und Knickung erforderlich)
Definitionsgleichung
Ip ¼ DA1r1 2 þ DA2r2 2 þ DA3r3 2 þ ...þ DAnrn 2
Ip ¼ SDA r 2
Definitionsgleichung
5 Festigkeitslehre
r
polares Flächenmoment
2. Grades (für Torsion
von Stäben mit Kreisoder
Kreisringquerschnitt
erforderlich)
ðIÞ ¼ðAÞ ðx, y, rÞ 2 ¼ mm 2 mm 2 ¼ mm 4
ðIÞ ¼mm 4
Hinweis: Man geht hier von der Längeneinheit
mm aus, weil im Maschinenbau und in
der Feinwerktechnik damit gearbeitet wird.
Grundsätzlich dürfen auch cm und m benutzt
werden (cm 4 ,m 4 ).