Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

5.7 Flächenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W 303
5.7 Flächenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W
Es bleibt selbstverständlich dem Lehrer überlassen, an welcher Stelle er im Stoffplan die Flächenmomente
2. Grades und die Widerstandsmomente behandelt. Mancher Lehrer wird diesen
Abschnitt erst einmal auslassen, um mit der Torsionsbeanspruchung und der Herleitung der
Torsions-Hauptgleichung (5.8.2, Seite 322) einen engeren Bezug zu den Flächenmomenten
herzustellen. Einige Lehrer sind der Meinung, man sollte auch noch die Biege-Hauptgleichung
(5.9.4, Seite 330) vor diesen Abschnitt ziehen.
Zum leichteren Einstieg für den Studierenden wurde der Stoff in Teilschritte zerlegt, und die
Teilprobleme werden so eingehend behandelt, dass auch das Selbststudium zum Ziel führt. Die
Aufgabenstellungen in den Ûbungen des Abschnitts 5.7.4, Seite 306 und 5.7.7, Seite 316, können
den Gruppen zur selbstständigen Lösung vorgelegt werden.
5.7.1 Gleichmäßige und lineare Spannungsverteilung (Gegenüberstellung)
Zum Verständnis der Beanspruchungsarten Torsion,
Biegung und Knickung muss man eine geometrische
Betrachtung vorausschicken.
Die bisher bekannten Hauptgleichungen sind alle
nach dem gleichen Schema aufgebaut:
Im Zähler des Bruchs steht in allen Fällen die
Kraft F als statische Größe, im Nenner die Querschnittsfläche
A als geometrische Größe, weil bei
diesen vier Beanspruchungsarten jedes Flächenteilchen
den gleichen Spannungsbetrag zu übertragen
hat. Anders gesagt: Die Spannung (oder Pressung)
ist gleichmäßig über dem Querschnitt
verteilt.
Das ist bei den Beanspruchungsarten Torsion und
Biegung anders. Hier haben die Randfasern des
Querschnitts die größte Spannung zu übertragen.
(tmax bei Torsion und smax bei Biegung).
Nach der Querschnittsmitte zu, genauer: zur neutralen
Faser hin, sinkt die Spannung gleichmäßig
bis auf null ab. Man spricht dann von einer linearen
Spannungsverteilung, im Gegensatz zur
gleichmäßigen Spannungsverteilung bei den Beanspruchungsarten
Zug, Druck, Abscheren und
Flächenpressung.
Aussagebegrenzung: Alle Erläuterungen zur Torsionsbeanspruchung
gelten nur für Kreis- und Kreisringquerschnitte.
sz, d ¼ FN
A
Zug/Druck-
Hauptgleichung
p ¼ FN
A
ta ¼ Fq
A
Abscher-
Hauptgleichung
sl ¼ F1
Aproj
Flächenpressungs-Hauptgleichungen
Spannungsbild bei Torsions- und Biegebeanspruchung
(lineare Spannungsverteilung)