Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

5.6 Beanspruchung auf Abscheren 297
5.6.2 Elastische Formänderung (Hooke’sches Gesetz für Schub)
Am Beispiel einer würfelförmigen Schubfeder kann
die Formänderung bei Schub erläutert werden:
Die Kraft F verschiebt die beiden Schnittufer 1
und 2 parallel gegeneinander, so dass sich die Seitenflächen
des Würfels um den Winkel g neigen.
Für kleine Winkel g darf angenommen werden,
dass der Abstand l0 der beiden Schnittufer während
der elastischen Formänderung erhalten bleibt.
Dann ist der Tangens des Winkels g ungefähr
gleich dem Winkel in der Einheit rad, also
tan g ¼ Dl=l0 g. Der Winkel g wird als Schiebung
bezeichnet.
Man versteht die Zusammenhänge besser und erhält
zusätzlich eine gute Gedächtnisstütze, wenn
man die Formänderung bei Schub und bei Zug
(5.2.3.4, Seite 282) einander gegenüberstellt.
Die bei Schubverformungen auftretende Schubspannung
t wächst mit der Schiebung g verhältnisgleich:
Bei doppelter Schiebung stellt sich die doppelte
Spannung ein.
Wie bei der Zugbeanspruchung (Seite 282) ist
auch hier das Verhältnis von Spannung t und
Schiebung g ein bestimmter und bei elastischer
Verformung gleich bleibender Wert. Nach DIN
1304 heißt er Schubmodul G.
Wird die Gleichung für den Schubmodul G umgestellt,
erhält man das Hooke’sche Gesetz für Schub
mit dem gleichen Aufbau wie bei Zugbeanspruchung.
Die Definitionsgleichung für den Schubmodul
G ¼ t=g gibt zu erkennen, dass G die Einheit der
Spannung besitzt (vgl. mit 5.2.3.4, Seite 282).
Ebenso wie das Elastizitätsmodul E ist auch der
Schubmodul G eine Werkstoffkonstante, die den
Tabellen auf Seite 385 entnommen werden können.
Aufgaben Nr. 738–765
Verschiebung Dl
Schiebung g ¼
Schnittuferabstand l0
tan g g ¼ Dl
l0
Bei Zug ist die Dehnung e das Verhältnis von
Verlängerung Dl und Ursprungslänge l0, bei
Schub ist die Schiebung g das Verhältnis von
Verschiebung Dl und Schnittuferabstand l0.
Bei Zug wächst die Dehnung e proportional
mit der Normalspannung s (siehe Seite 282),
bei Schub wächst die Schiebung g proportional
mit der Schubspannung t.
Schubspannung t
Schubmodul G ¼
Schiebung g
t ¼ gG ¼ Dl
G
l0
Hook’sches Gesetz
für Schub
ðGÞ ¼ ðtÞ
ðgÞ ¼
N
mm2 rad
Beispiel:
¼ N
mm 2
g Dl, l0
rad mm
t, G l, l0 g
N
mm 1 ¼ rad
mm2 GStahl ¼ 80 000 N
N
¼ 8 104
mm2 mm2