Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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5.5.5 Flächenpressung an gewölbten Flächen (Hertz’sche Gleichungen)
Die Flächenpressung zwischen Körpern mit gekrümmter
(gewölbter) Oberfläche lässt sich mit
den von Hertz aufgestellten Gleichungen berechnen.
Diese Beanspruchungsart tritt beispielsweise
zwischen den Wälzkörpern (Kugeln, Walzen, Rollen,
Nadeln) und Laufringen von Wälzlagern auf
(Kugellager, Kegelrollenlager, usw.).
Die Hertz’schen Gleichungen gelten unter folgenden
Voraussetzungen:
a) Die Körper verhalten sich vollkommen elastisch
(keine bleibende Formänderung).
b) Es gilt das Hook’sche Gesetz s ¼ eE.
c) Die elastische Verformung ist klein gegenüber
den Abmessungen des Körpers.
d) In der Berührungsfläche beider Körper treten
nur Normalspannungen s auf, keine Schubspannungen
t.
Bedeutung der Formelzeichen:
a Radius der kreisförmigen oder halben
Breite der rechteckigen Druckfläche in mm
F Druckkraft in N
m Poisson-Zahl, Verhältnisgröße mit der
Einheit 1, siehe Seite 282
r Krümmungsradius der Kugel oder des Zylinders
in mm; bei Krümmung beider Körper
ist die Summe beider Krümmungen
einzusetzen, also 1=r ¼ 1=r1 þ 1=r2.
Für die ebene Platte ist 1=r2 ¼ 0, für die
Hohlkugel ist 1=r2 negativ einzusetzen.
E Elastizitätsmodul in N/mm 2 ; bei unterschiedlichen
E-Moduln ist
E ¼ 2E1E2=ðE1 þ E2Þ einzusetzen.
l Länge des Zylinders in mm
p Druck auf der Berührungsfläche im
Abstand r in N/mm 2
p0 ¼ pmax Druck in der Mitte der
Berührungsfläche in N/mm 2
r veränderlicher Radius oder Ordinate in
Breitenrichtung der Berührungsfläche
in mm
d Gesamtabplattung in mm, d. h. die
gesamte Näherung der beiden Körper
5.5.5.1 Pressung zwischen Kugel und Ebene oder zwischen zwei Kugeln
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1,5ð1 m
a ¼
2 r
rffiffiffiffiffi
3 Þ Fr
3 Fr
¼ 1,11
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi E
E
a
p ¼ p0
2 r2 p
a
p0 ¼ 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1,5 FE
p
2
r2ð1 m2Þ 2
s
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3
FE
¼ 0,388
2
r2 r
3 1,5 F
¼
pa2 d ¼ a2
r ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2,25ð1 m2Þ 2 F 2
E 2 s
ffiffiffiffiffiffiffiffi
3
F
¼ 1,23
r
2
E 2 r
3
r
5.5.5.2 Pressung zwischen Zylinder und Ebene oder zwischen zwei Zylindern
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
8ð1 m
a ¼
2 r
rffiffiffiffiffiffi
Þ Fr Fr
¼ 1,52
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pEl
El
a
p ¼ p0
2 r2 r
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a
FE
p0 ¼
2prlð1 m2 s
rffiffiffiffiffiffi
FE
¼ 0,418 ¼
Þ
rl
2F
pal
5 Festigkeitslehre