Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
292 5.5.5 Flächenpressung an gewölbten Flächen (Hertz’sche Gleichungen) Die Flächenpressung zwischen Körpern mit gekrümmter (gewölbter) Oberfläche lässt sich mit den von Hertz aufgestellten Gleichungen berechnen. Diese Beanspruchungsart tritt beispielsweise zwischen den Wälzkörpern (Kugeln, Walzen, Rollen, Nadeln) und Laufringen von Wälzlagern auf (Kugellager, Kegelrollenlager, usw.). Die Hertz’schen Gleichungen gelten unter folgenden Voraussetzungen: a) Die Körper verhalten sich vollkommen elastisch (keine bleibende Formänderung). b) Es gilt das Hook’sche Gesetz s ¼ eE. c) Die elastische Verformung ist klein gegenüber den Abmessungen des Körpers. d) In der Berührungsfläche beider Körper treten nur Normalspannungen s auf, keine Schubspannungen t. Bedeutung der Formelzeichen: a Radius der kreisförmigen oder halben Breite der rechteckigen Druckfläche in mm F Druckkraft in N m Poisson-Zahl, Verhältnisgröße mit der Einheit 1, siehe Seite 282 r Krümmungsradius der Kugel oder des Zylinders in mm; bei Krümmung beider Körper ist die Summe beider Krümmungen einzusetzen, also 1=r ¼ 1=r1 þ 1=r2. Für die ebene Platte ist 1=r2 ¼ 0, für die Hohlkugel ist 1=r2 negativ einzusetzen. E Elastizitätsmodul in N/mm 2 ; bei unterschiedlichen E-Moduln ist E ¼ 2E1E2=ðE1 þ E2Þ einzusetzen. l Länge des Zylinders in mm p Druck auf der Berührungsfläche im Abstand r in N/mm 2 p0 ¼ pmax Druck in der Mitte der Berührungsfläche in N/mm 2 r veränderlicher Radius oder Ordinate in Breitenrichtung der Berührungsfläche in mm d Gesamtabplattung in mm, d. h. die gesamte Näherung der beiden Körper 5.5.5.1 Pressung zwischen Kugel und Ebene oder zwischen zwei Kugeln ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1,5ð1 m a ¼ 2 r rffiffiffiffiffi 3 Þ Fr 3 Fr ¼ 1,11 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi E E a p ¼ p0 2 r2 p a p0 ¼ 1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1,5 FE p 2 r2ð1 m2Þ 2 s ffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 FE ¼ 0,388 2 r2 r 3 1,5 F ¼ pa2 d ¼ a2 r ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2,25ð1 m2Þ 2 F 2 E 2 s ffiffiffiffiffiffiffiffi 3 F ¼ 1,23 r 2 E 2 r 3 r 5.5.5.2 Pressung zwischen Zylinder und Ebene oder zwischen zwei Zylindern ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 8ð1 m a ¼ 2 r rffiffiffiffiffiffi Þ Fr Fr ¼ 1,52 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pEl El a p ¼ p0 2 r2 r ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a FE p0 ¼ 2prlð1 m2 s rffiffiffiffiffiffi FE ¼ 0,418 ¼ Þ rl 2F pal 5 Festigkeitslehre
5.5 Flächenpressung 293 5.5.6 Ûbungen zur Flächenpressung 1. Ûbung: Eine Zugspindel soll über die Mutter in Längsrichtung 20 kN übertragen. Die Zugspannung in der Spindel darf 80 N/mm2 nicht überschreiten, die Flächenpressung im Gewinde soll höchstens 15 N/mm2 betragen. Zu bestimmen sind das erforderliche Trapezgewinde, die erforderliche Mutterhöhe. Lösung: Der Kernquerschnitt der Zugspindel muss bei sz zul ¼ 80 N=mm2 die Zugkraft F ¼ 20 000 N übertragen. Aus der Zug-Hauptgleichung (Seite 278) findet man für Aerf ¼ 250 mm2 Kernquerschnitt. Aus der Formelsammlung wird dasjenige Trapezgewinde gewählt, das den nächstgrößeren Kernquerschnitt A3 ¼ 269 mm2 besitzt. Zur Berechnung der Mutterhöhe m setzt man in die Gleichung nach Seite 290 die gegebenen und die aus der Gewindetafel (Formelsammlung) entnommenen Größen ein. Als Normmaß wird m ¼ 40 mm gewählt. 2. Ûbung: Ein Gleitlager hat eine Radialkraft Fr ¼ 15 000 N und eine Axialkraft Fa ¼ 6000 N aufzunehmen. Das Bauverhältnis soll l=d ¼ 1,2, die zulässige Flächenpressung 5 N/mm 2 betragen. Zu bestimmen sind die Maße d, D, l. Lösung: In die Flächenpressungsgleichung für Gleitlager, Seite 291, wird aus dem vorgegebenen Bauverhältnis l=d ¼ 1,2 entweder d ¼ l=1,2 oder für l ¼ 1,2d eingesetzt. Hier entscheidet man sich für die zweite Möglichkeit und erhält damit eine Gleichung zur Bestimmung des erforderlichen Wellendurchmessers d. Im anderen Fall hätte sich eine Gleichung zur Berechnung der Lagerlänge l ergeben. Aus dem Bauverhältnis l=d ¼ 1,2 ergibt sich die Lagerungslänge l. Gegeben: Zugkraft F ¼ 20 kN ¼ 20 10 3 N szzul ¼ 80 N mm 2 pzul ¼ 15 N mm 2 Gesucht: Trapezgewinde Mutterhöhe m sz ¼ F A (Zug-Hauptgleichung) Aerf ¼ F 20 000 N ¼ szzul 80 N mm2 ¼ 250 mm 2 Gewählt wird Tr 24 5 mit A3 ¼ 269 mm2 , Steigung P ¼ 5 mm, Flankendurchmesser d2 ¼ 21,5 mm, Tragtiefe H1 ¼ 2,5 mm. FP merf ¼ pd2 H1 pzul 20 10 merf ¼ 3 N 5mm p 21,5 mm 2,5 mm 15 N mm2 merf ¼ 39,48 mm; m ¼ 40 mm gewählt p ¼ Fr ¼ Aproj Fr dl p ¼ Fr Fr ¼ d 1,2d 1,2d2 derf ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Fr l ¼ 1,2 ) l ¼ 1,2d d s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 15 000 N ¼ 1,2pzul 1,2 5 N mm2 v u t derf ¼ 50 mm l ¼ 1,2d ¼ 1,2 50 mm ¼ 60 mm
- Seite 261 und 262: 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotat
- Seite 263 und 264: 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotat
- Seite 265 und 266: 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotat
- Seite 267 und 268: 4.10 Mechanische Schwingungen 247 4
- Seite 269 und 270: 4.10 Mechanische Schwingungen 249 4
- Seite 271 und 272: 4.10 Mechanische Schwingungen 251 4
- Seite 273 und 274: 4.10 Mechanische Schwingungen 253 P
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- Seite 279 und 280: 4.10 Mechanische Schwingungen 259 4
- Seite 281 und 282: 4.10 Mechanische Schwingungen 261 4
- Seite 283 und 284: Formelzeichen und Einheiten 263 P W
- Seite 285 und 286: 5.1 Grundbegriffe 265 Die Welle dar
- Seite 287 und 288: 5.1 Grundbegriffe 267 Wird vorausge
- Seite 289 und 290: 5.1 Grundbegriffe 269 5.1.5.2 Druck
- Seite 291 und 292: 5.1 Grundbegriffe 271 5.1.7 Bestimm
- Seite 293 und 294: 5.1 Grundbegriffe 273 2. Ûbung: Da
- Seite 295 und 296: 5.1 Grundbegriffe 275 4. Ûbung: Nu
- Seite 297 und 298: 5.1 Grundbegriffe 277 c) Schnittste
- Seite 299 und 300: 5.2 Beanspruchung auf Zug 279 5.2.2
- Seite 301 und 302: 5.2 Beanspruchung auf Zug 281 5.2.3
- Seite 303 und 304: 5.2 Beanspruchung auf Zug 283 Nach
- Seite 305 und 306: 5.3 Beanspruchung auf Druck 285 Set
- Seite 307 und 308: 5.4 Ûbungen zur Zug- und Druckbean
- Seite 309 und 310: 5.5 Flächenpressung 289 Die Fläch
- Seite 311: 5.5 Flächenpressung 291 5.5.4 Flä
- Seite 315 und 316: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 295
- Seite 317 und 318: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 297
- Seite 319 und 320: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 299
- Seite 321 und 322: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 301
- Seite 323 und 324: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 325 und 326: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 327 und 328: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 329 und 330: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 331 und 332: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
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- Seite 335 und 336: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 337 und 338: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 339 und 340: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 341 und 342: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 321 5
- Seite 343 und 344: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 323 D
- Seite 345 und 346: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 325 5
- Seite 347 und 348: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 327 L
- Seite 349 und 350: 5.9 Beanspruchung auf Biegung 329 5
- Seite 351 und 352: 5.9 Beanspruchung auf Biegung 331 D
- Seite 353 und 354: 5.9 Beanspruchung auf Biegung 333 5
- Seite 355 und 356: 5.9 Beanspruchung auf Biegung 335 5
- Seite 357 und 358: 5.9 Beanspruchung auf Biegung 337 Z
- Seite 359 und 360: 5.9 Beanspruchung auf Biegung 339 D
- Seite 361 und 362: 5.9 Beanspruchung auf Biegung 341 M
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5.5.5 Flächenpressung an gewölbten Flächen (Hertz’sche Gleichungen)<br />
Die Flächenpressung zwischen Körpern mit gekrümmter<br />
(gewölbter) Oberfläche lässt sich mit<br />
den von Hertz aufgestellten Gleichungen berechnen.<br />
Diese Beanspruchungsart tritt beispielsweise<br />
zwischen den Wälzkörpern (Kugeln, Walzen, Rollen,<br />
Nadeln) und Laufringen von Wälzlagern auf<br />
(Kugellager, Kegelrollenlager, usw.).<br />
Die Hertz’schen Gleichungen gelten unter folgenden<br />
Voraussetzungen:<br />
a) Die Körper verhalten sich vollkommen elastisch<br />
(keine bleibende Formänderung).<br />
b) Es gilt das Hook’sche Gesetz s ¼ eE.<br />
c) Die elastische Verformung ist klein gegenüber<br />
den Abmessungen des Körpers.<br />
d) In der Berührungsfläche beider Körper treten<br />
nur Normalspannungen s auf, keine Schubspannungen<br />
t.<br />
Bedeutung der Formelzeichen:<br />
a Radius der kreisförmigen oder halben<br />
Breite der rechteckigen Druckfläche in mm<br />
F Druckkraft in N<br />
m Poisson-Zahl, Verhältnisgröße mit der<br />
Einheit 1, siehe Seite 282<br />
r Krümmungsradius der Kugel oder des Zylinders<br />
in mm; bei Krümmung beider Körper<br />
ist die Summe beider Krümmungen<br />
einzusetzen, also 1=r ¼ 1=r1 þ 1=r2.<br />
Für die ebene Platte ist 1=r2 ¼ 0, für die<br />
Hohlkugel ist 1=r2 negativ einzusetzen.<br />
E Elastizitätsmodul in N/mm 2 ; bei unterschiedlichen<br />
E-Moduln ist<br />
E ¼ 2E1E2=ðE1 þ E2Þ einzusetzen.<br />
l Länge des Zylinders in mm<br />
p Druck auf der Berührungsfläche im<br />
Abstand r in N/mm 2<br />
p0 ¼ pmax Druck in der Mitte der<br />
Berührungsfläche in N/mm 2<br />
r veränderlicher Radius oder Ordinate in<br />
Breitenrichtung der Berührungsfläche<br />
in mm<br />
d Gesamtabplattung in mm, d. h. die<br />
gesamte Näherung der beiden Körper<br />
5.5.5.1 Pressung zwischen Kugel und Ebene oder zwischen zwei Kugeln<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
1,5ð1 m<br />
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5.5.5.2 Pressung zwischen Zylinder und Ebene oder zwischen zwei Zylindern<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
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5 Festigkeitslehre